中央广播电视大学2004-2005学年度第一学期“开放本科”期末考试
数学与应专业中学数学教学研究试题
2005年1月
题号 一 二 三 四 总分
分数
1.布鲁纳总结出的四个学习原理是 ：
2.数学教育评价的基本功能有
3.0,1,51,61,65,65,75,表示一组数值，这组数的中数是 ，众数是
得分评卷人 二、名词解释（本题共15分，每小题5分）
1.数学证明
2.概念的划分
3.有意义学习
得分评卷人 三、简述题（本题共50分，每小题10分）
1.用真值表证明
2.简述“好”的数学问题的特点。
3.简述中学数学教材体系的编排原则。
4.简述教学原则和教学规则的联系和区别。
5.简述发展性学生评价的基本特点。
在ZVIBC 中,ZA.ZB.ZC 所对的边分别是 a、b、c,且 c = 10, cosA/cosB = b/a = 4/3, P *AABC内切圆上的动点。求点P到顶点A、B、C的距离的平方和的最小值与最大值。求 解此题，并结合此题的解题过程说明影响问题解决的因素有哪些？（至少举出四种因素）
试卷代号：1098
中央广播电视大学2004-2005学年度第一学期“开放本科”期末考试
数学与应专业中学数学教学研究试题答案及评分标准
（供参考）
2005年1月
-、填空题（本题共15分，每个空1.5分）
1.建构原理 符号原理 比较和变式原理 关联原理
2.导向功能 调控功能 激励功能 诊断和鉴定功能
3.61 65
二、 名词解释（本题共15分，毎小题5分）
1.答:是引用一些真实的数学命题来确定某一数学命题真实性的思维方式。
2.答:是明确概念外延的逻辑方法,就是将一个概念所指的事物，按不同的属性分成若干 小类的方法。
3.答:是学生能理解由符号所代表的新知识，理解符号所代表的实际内容，并能融会贯 通。
三、 简述题（本题共50分，每小题10分）
1.答：
P q P Q PN q PN q P Aq
1 1 0 0 1 0 0
1 0 0 1 1 0 0
0 1 1 0 1 0 0
0 0 1 1 0 1 1
1同真同假1
所以:p V q^p A q
（真值表每列得1分，由两列同真假判断命题等价得3分）
2.答：（1）一个“好”的数学问题应当具有较强的探索性；
（2）具有一定的现实意义或与学生的实际生活有着直接的联系，有趣味和魅力;
（3） 具有多种不同的解法或多种可能的解答，即开放性；
（4） 具有一定的发展余地，可以推广或扩充到各种情形；
（5） 具有一定的启示意义，蕴涵重要的数学思想方法；
（6） 问题的表述应当简单易愷,容易接近。
（6个要点中答出4个及以下者,每点得2分，其余每点1分）
3.答：教材体系要符合下面几条原则：
（1） 要符合学生的心理发展规律;（2.5分）
（2） 要符合数学知识的科学性和系统性;（2.5分）
（3） 必须遵循理论联系实际的原则；（2.5分）
（4） 必须遵循联系性和衔接性原则。（2.5分）
4.答：教学原则与教学规则的联系在于：教学原则总是借助于一定的教学规则来实现的， 没有一定的教学规则，教学原则也就变成了空洞的东西。（5分）
教学原则与教学规则的区别在于：教学规则是教学原则的组成部分和具体细节，它的任务 是阐明某一个教学原则的某一方面的指导原理。每一方面的每个教学原则都包括一系列具体 的教学规则。（5分）
5.答:发展性学生评价的基本特点是：（1）发展性学生评价应基于一定的培养目标，并在 实施中指定明确、具体的阶段性发展目标；（2）发展性学生评价的根本目的是促进学生达到目 标，而不是检查和批评；（3）发展性学生评价注重过程；（4）发展性学生平静关注学生发展的全 面性;（5）发展性学生评价倡导评价方法的多元化；（6）发展性学生评价关注个体差异；（7）发展 性学生评价注重学生本人在评价中的作用简述观察和实验在数学习中的作用。
（7个要点中答出6个及以下者,每点得1.5分，其余每点1分）
四、综合题（本题20分）
解:a、b、c 为△ABC 的三边，且 c=10,cosA/cosB = 6/a = 4/3,
由 cosA/cosB = b/a,用正弦定理作代换，得 cosA/cosB=sinB/sinA,
即 sinA • cosA = sinB , cosB 或 sin2B=sin2A
因为cosA/cosB = 4/3,知且A、B是三角形内角，
所以 2A = ?r—2B,即 B+A = n/2
所以△ABC是直角三角形。
866
再由 c=10,Z>/a = 4/3 及 a2+62=c2,可解得 a = 6,6=8o
如图1—2,建立直角坐标系，使直角的三个顶点为A（8,0）、B（0,6）、C（0、0）在直 角厶蠡。中，有a + b = c + 2r,r=2,所以，内切圆的圆心为0‘（2,2）,方程为&—⑦尸+㈠一2）? =4。
设圆上的任一点为P&点），则有
S = \PA\2 + \PB\2 + \PC\2
=（工一8）2+j/2+x24-（jz—6）2 +x2 + j<2
=3｛（工一2）^ + （了一 2）勺一4工+76
=3 • 4 — 4工 + 76 = 88 — 4工
因P是内切圆上的点，故0<^<4,于是当X=4时，有最小值72,当工=0时，有最大值 88。（8 分）
影响问题解决的因素有：
（1） 知识结构；即解决问题时个体所拥有的数学知识、已掌握的事笑和算法，以及这些知识 和经验的表述方式，知识的良好组织。解决此问题时，需要三角函数、三角形以及解析几何的 知识,没有这些知识，是不能解决此问题的。（3分）
（2） 探索方法（或解题策略）。即处理非熟悉或者非常规问题的策略与技术。解决上述问 题时，考虑是否遇到过这个问题？是否曾见过也解过与密切相关的两类问题：
第一，已知三角形某些边角之间的数量关系，要求判断这三角形的形状或解出它。
第二,在一确定的三角形中的某曲线上有一动点，求这点到三角形顶点或三边的距离和或 平方和的最小值。
于是原问题可分裂为两个较为简单的问题：
①a、久c为AABC的三边，且c=10,cosA/cosB = 3/a = 4/3,试确定ZvlBC的形状及其大 小。
②在确定的的内切圆上有一动点P,试求PA + PB + PC2的最小值与最大值。
上述这种探索方法对解决问题是非常重要的。（3分）
（3） 数学能力。要成功地、迅速地解决问题,需要多种能力的综合，对于解决问题起作用的 能力。比如解决问题后的评估能力，包括对于上面解题过程的运算检验；考虑 L0时，P点 运动到BC边上的M,此时的所求平方和最大值为88；当工=4时，P点运动到过M的直径的 另一端点N,此时得所求平方和最小值为72。此外，能否用别的方法来导出结果呢？对第① 小题也可一开始用余弦定理作代换，对第②小题除选择不同的位置建立坐标系外，圆上的动点 P也可以利用参数式表示，于是有好几种解法。（3分）
（4） 情感态度
情感态度主要是指良好的心理素质，如动机、兴趣、抱负、态度、品德、意志等非智力因素。 如解决此问题的过程中需要认真、一丝不苟的品质。（3分）
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