试卷代号:1098
中央广播电视大学’2003-2004学年度第二学期“开放本科”期末考试
数学与应用专业中学数学教学研究试题
2004年7月
题号 一 二 三 四 总分
分数
1.表示一个测验有效性的指标是 ，表示一个测验可靠性的指标是
2.数学教育评价的基本功能有 、
3.说’课要遵循的原则是
得分评卷人
二、名词解释（本题共15分，每小题5分）
1.数学推理
2.数学概念内涵与外延的反变关系
3.数学认知结构
得分评卷人
三、简述题（本题共50分，每小题10分）
1.指岀命题的四种基本形式,用真值表证明互为逆否的命题逻辑等价。
2.简述数学教育的价值。
3.简述给数学概念下定义的几种方式。
4.如何理解数学的严谨性？在数学教学中如何贯彻严谨性和量力性相结合的教学原则？
5.简述布鲁纳的四个数学学习原理。
何谓第二数学归纳法？用第二数学归纳法证明（3+妨）” + （3—妨）”是2″的倍数。
试卷代号：1098
中央广播电视大学2003-2004学年度第二学期“开放本科”期末考试
数学与应用专业 中学数学教学研究 试题答案及评分标准
（供参考）
2004年7月
一、填空题（本题共15分，每个空1.5分）
信度
2.导向功能 调控功能 激励功能 诊断和鉴定功能
二、名词解释（本题共15分，每小题5分）
1.答:数学推理是由一个或几个数学命题，得出一个新的数学命题的思维形式。
2.答:具有属种关系的两个概念A、B,如果概念A的内涵比概念B的内涵多，则概念A 的外延比B的外延小。反之,若概念A的内涵比概念B的内涵少，则概念A的外延比概念B 的外延大。
3.答:数学认知结构是学生头脑中的数学知识按照自己的理解深度、广度，结合自己的感 觉、记忆、思维、想象等认知特点,组合成的一个具有内部规律的整体结构。
三、简述题（本题共50分，每小题10分）
1-答:若原命题则逆命题为力，否命题为力f力.（4分）
其中pfq与qfpt qfp与pfq是互为逆否命题，真值表如下:
所以与qfp，qfp与P^Q是逻辑等价。（6分）
2.答:所谓数学教育的价值，即数学教育对人的发展的价值。（2分）
（1） 数学的实践价值,是指数学对于认识客观世界、改造客观世界的实践活动所具有的教 育作用和意义。表现为数学是科学的语言、数学是计算的工具、数学是科学抽象的工具。（2 分）
（2） 数学的认识价值，是指学习和掌握数学科学知识及其过程在发展人的认识能力上所具 有的教育作用和意义。表现为数学是锻炼思维的体操和启迪智慧的钥匙、数学是辨证的辅助 工具和表现方式。（2分）
（3） 数学的德育价值，是指数学在形成和发展人的科学世界观、道德色彩和个性品质所具 有的教育作用和意义。在通过数学教育形成学生的性格特征中，辛钦着重谈及了四点：真诚、 正直、坚韧和勇敢。（2分）
（4） 数学的美学价值，是指数学在培养发展学生审美情趣和能力方面所具有的教育作用和 意义。（2分）
3.答：
（1） 属加种差定义方式（或称内涵定义）。这种定义方式由如下公式表出：
被定义项=邻近的属+种差。
（2） 发生定义方式（又称构造定义方式）。它是属加种差定义方式派生出来的一种特殊形 式,是用一类事物产生或形成情况作为种差所作出的定义。
（3） 关系定义方式。关系定义是以事物间的关系作为种差的定义。它指出这种关系是被 定义事物所具有而任何其它事物所不具有的本质属性。
（4） 外延定义（又称概括定义）。是用并列的种概念给属概念下定义的方法。
（5） 语词定义方式。语词定义就是说明或规定语词或词组的意义的定义。
（6） 公理定义方式。就是用一组公理来描述被定义项概念的本质属性的定义方式。
（7） 递归定义。当被定义项与自然数的性质直接有关时,在数学中常采用递归定义。
（列出3种及以内，每种2分，列岀3种以上者，每多列岀一种增加1分）
4.答:严谨性，是数学学科的基本特点之一。即逻辑的严谨性和结论的确定性。它要求数 学概念必须严格地加以定义，即使是那些最基本、最常用，而又不能按逻辑方法加以定义的原 始概念，除了直观地用语言描述之外，还要求用公理加以确定。它要求数学结论的叙述必须准 确、精练，数学推理、论证必须合乎逻辑地进行，即使数学计算也要求无可争辩。可以说，整个
数学学科体系就是一个严谨的逻辑结构。（3分）
在贯彻此教学原则时要注意：
（1） 明确要求，谨慎处理。教师必须深入钻研大纲、教材，明确各部分内容对严谨性的要求 程度，在教学中参照施行。（2分）
（2） 从开始抓起，持之以恒。从初中一年级的数学教学开始，就应当在数学严谨性方面提 出明确的要求。首先要规范数学用语。其次，数学命题的推导、数学算式的推演也要严格地使 用数学语言。（2分）
（3） 要求学生周密思考、言必有据,使学生养成严谨性的习惯。（2分）
数学的严谨性与量力性要很好地结合，在教学中要注意教学的“分寸”，即注意教材的深广 度，从严谨着眼，从量力着手;另外,要注意阶段性，使前者为后者作准备,后者为前者的发展， 前后呼应。通过对学生严谨性的培养使学生养成良好的思考习惯。（1分）
5.答:布鲁纳和他的同事们进行了大量的数学学习实验，从中总结出了四个数学学习原 理。
（1） 建构原理。学生开始学习一个数学概念、原理或法则时，要以最合适的方法建构其代 表。（2.5分）
（2） 符号原理。布鲁纳认为,应当用螺旋式的方法来建构数学中的符号体系。这里的螺旋 式方法指的是以直观的方式引进每一个数学概念，并使用熟悉的和具体的符号表示数学概念 的方法。简单地说，符号原理就是要根据学生的智力发展水平,使其达到相应的抽象水平。
（2.5 分）
（3） 比较和变式原理。比较和变式原理表明，从概念的具体形式到抽象形式的过渡，需要 比较和变式，要通过比较和変式来学习数学概念。布鲁纳认为，比较是帮助学生直观地理解 数学概念和发展其抽象水平的最有用的方式之一。（2.5分）
（4） 关联原理。关联原理指的是应把各种概念、原理联系起来，置于一个统一的系统中进 行学习。布鲁纳认为，如果要使学生的学习卓有成效，就必须说明和理解数学概念间的联系。
（2.5 分）
四、综合题（本题20分）
解：
第二数学归纳法是根据下面定理给出的证明方法。
定理:设03)是一个关于自然数1的命题，如果
1°当3) = 1时,0(Q成立；
2°假设n<k(keN)时P3)成立，在此前提下推出n=^+l时0以+1)也成立。
那么03)对任意自然数1都成立。(10分)
证明：设a = 3+妨，0=3—妨
于是 a +g=6, a0=4
(1)当 n=l 时(3+V5)+ (3-75) =6 = 2X3 是 2 的倍数。(1 分)
当 n=2 时(3+75)2 + (3-V5)2=28 = 22 X7 是才的倍数。(1 分)
(2)假设n=l, 2,……3 + 1时命题成立，
当n=k + 2时；
(3+V5)k+2 + (3-75)k+2
=ak+2+/3k+2 •
=(a+g) (L+广)一”(/+&)
= 6(ak+1+J9k+1)-4(ak+/3l!)
因为/+&是2-的倍数,ak+1+J9k+1是2卄|的倍数，
所以 6(ak+1+J9k+1)和 4(?+^)是 2k+z的倍数。
即/+Z+&+2是2W2的倍数。
所以当n=k + 2时命题成立。
由(1)和(2)可知命题对于任何自然数都成立。(8分)
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