试卷代号：1091
国家开放大学2019年秋季学期期末统一考试
应用概率统计 试题（半开卷）
2020年1月
题号 一 二 三 四 总分
分数
得.分评卷人
一、判断题（回答对或错，每小题3分，共15分）
1.设随机变量X〜N（l,l）,其概率密度为/Xz）,且分布函数为F（z）,则
P（X<l}=P{X>l}=0.5 成立。（ ）
2.一次投掷两颗骰子，则岀现的点数之和为奇数的概率为普。（ ）
‘0,
3. 设随机变量X的分布函数为Fx（z）={lnz, l<x<e；,
.1,
则 P{XV2}=Fx（2）—Fx（ —8）= ln2。（ ）
4.在每次试验中，事件A发生的概率等于0.5。利用契比雪夫不等式估计:在1000次独
立试验中，事件厶发生的次数在400和600次在之间的概率20.025。（ ）
3
5.Ka；=习©,6 = 1,2,3）为因素在A的三个不同水平试验指标之和。（ ）
J
得分评卷人
二、填空题（每小题3分，共15分）
6-在对总体参数的假设检验中，若给定显著水平为a,则犯第一类错误的概率 是 O
7.某公共汽车站每隔5分钟有一辆汽车停站，乘客在任意时刻到达汽车站，则候车时间 的标准差为 分钟（假设汽车到站时，乘客都能上车）。
8.中心极限定理提出了独立随机变量的和在变量的数目很大时，如何确定它的
的问题。
9.一般地，用线性函数y = a A- bx来估计Y的数学期望的问题，称为 问题。
10.当时,则变量丫为X的线性相关关系 。
得分评卷人 三、计算题（每小题10分，共50分）
11.设总体X为［a,貫上的均匀分布，求a 0的最大似然估计。
12.某灯泡厂生产的灯泡的平均寿命原为2000小时，标准差为250小时，经过技术改造 使平均寿命提高到2250小时，标准差不变，为了确认这一成果，检验时办法如下：任意挑选若 干只灯泡,如这些灯泡的平均寿命超过2200小时，就正式承认技改有效。欲使检验通过的概 率超过0. 997,至少应检查多少只灯泡？（提示：查表石/5》2.75 ）
13.某人求得（x,y）的分布律为表1。
表1
XL 0 1/3 1
-1 0 1/12 1/6
0 1/6 1/6 0
2 1/12 3/12 1/6
试说明他的计算结果是否正确。
14.某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号。求他拨号不超过三次而 接通电话的概率。若已知最后一个数字是奇数，那么此概率是多少？
15.在设计导弹发射装置时，重要事情之一是研究弹着点偏离目标中心的距离的方差。 对于一类导弹发射装置，弹着点偏离目标中心的距离服从正态分布这里ff2 = 100 米％现在进行了 25次发射试验，用S2记这25次试验中弹着点偏离目标中心的距离的样本方 差。试求齐超过50米2的概率。
得.分 旺^ 四、证明题(本题20分)
16.设厶和B是随机试验E的两个事件，且F(A)>0,P(B)>0,并定义随机变量X,Y
如下：
卩， 若A发生； 卩， 若B发生；
x=< 丫={
10, 若厶不发生. 〔0, 若B不发生.
证明若Qxy = 0,则X和Y必定相互独立。
试卷代号：1。91
国家开放大学2019年秋季学期期末统一考试
应用概率统计试题答案及评分标准（半开卷）
（供参考）
2020年1月
一、判断题（回答对或错，每小题3分，共15分）
二、填空题（每小题3分，共15分）
6.
7.
55
无％而分钟）
8.
渐近分布
9.
一元线性回归
10.显著
三、计算题（每小题10分，共50分）
11.解：X的概率密度函数为
其它.
对样本X],X2,…，X”，
0,
其它.
很显然,L（rM）作为a
和b的二元函数是不连续的。
这时我们不能用似然方程组
（7.2.2）来求最大似然估计，而必须从最大似然估计的定义出发，求L（a,b）的最大值。为
使L（a力）达到最大,b~a应该尽量地小，但b又不能小于max{$i，工z,}，否则,L（a ,3） =0。
类似地,a不能大于min{zi ,*2,…，}。 4分
因此,a和5的最大似然估计为
a * = min! X】，X?，…,X* },
b* = maxi Xi,X2,・”，X”），
1 ”
12-解:设需取n只灯泡检查。&为初只灯泡的寿命，贝y冬X*只灯泡的平均 寿命，所以要解决的问题是:求最小的〃，使
2 220。}》0.997。
因为# = E（XQ = 2250,a = = 250。= 1,2,…，&）,由独立同分布中心极限定
査正态分布表可得:石/522. 75,即1三（13. 75）2 = 189. 0625,故取n = 190时可满足要
2分
13.解:离散型随机变量（X,y）的分布律必须具备性质：＞0；、巳,=1。如果有一条
不成立，则就不是分布律。
3 3
由于他的计算结果使（X,Y）的分布律有J] 〉1，故其计算结果是错误的。5分
14.解:设A,表示第/次接通电话,B表示“拨号不超过三次接通电话”，首先求出事件B 的表达式：
B=A^ U-Ai-^-2 UA1A2A3 ? 4 分
然后使用概率的加法公式和乘法公式：
P（B）=P（A1）+P（A1A2）+P（A1A2A3）
= F（AI）+F（A1）P（A2|A1）+F（A1）P（瓦 I瓦）P（Aal瓦瓦）=3。 4 分
同理，已知最后一个数字是奇数，可以求得F（B）=|-° 2分
15.解根据教材定理6. 4.1
(w-l)S2 ,
于是
= P（xI4>12）>0.975
于是我们以超过97.5%的概率断言,S，超过50米气
四、证明题（本题20分）
16.证明：即证对于（X ,Y）的一切可能值（工；，刀），都有
p{X=Xi,Y=yj\=P{X = xi\P{Y=y1
成立。X、丫的分布律分别为表1。
表1
X 0 1
F. l-P(A) F（厶）
Y 0 1
巳 l-P(B) P(B)
XY的分布律为表2。
表2
XY 0 1
pk l-P(AB) P(AB)
于是有 E（X）=P（厶），E（Y）=P（B）,E（XY）=P（AB）O
由 PXY=。推出 E（XY）=E（X）E（y）,即 P（AB）=P（A）• P（B）,故 A,B 相互独立, 则A与瓦石与B,亙与百也相互独立。 2分
P（X = 0,Y=0）=P（AB）=P（A）P（B）=P（X=O）p{y=o）。 2 分
类似可推出
p{x=o,y=i） =p（x=o）f{y=iJ ,f{x = i,y=oJ=p{x=i）p{y=o）,
F（X = l,y=“ =f（x = 1}f{y=1}。 4 分
248
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