试卷代号：1091
国家开放大学(中央广播电视大学)2017年秋季学期“开放本科”期末考试
应用概率统计 试题(半开卷)
2018年1月
题号 — 二 三 四 总分
分数
得分评卷人
一、填空题(每小题3分，共15分)
1.袋中有50个乒乓球，其中20个是黄球，30个是白球。今有两人依次随机地从袋中各 取一球，取后不放回，则第二个人取得黄球的概率是 。
2.设/(x,>)是二维随机变量(X,Y)的联合密度函数,ft (x)与(j-)分别是关于 X与丫的边缘概率密度，且X与丫相互独立，则有为 。
3.在每次试验中，事件厶发生的概率等于0.5。利用契比雪夫不等式估计：在1000次独 立试验中，事件厶发生的次数在400和600次在之间的概率N 。
4.已知某一产品的某一指标X〜N(g,(0.5)2)，若要使样本均值与总体期望值的误差 不小于0. 1,则至少应抽取容量为 的样本。(设置信度为95% )
5-当r0.01 < |r|^ro.o5时，则变量丫为X的线性相关关系 。
得分评卷人
二、判断题(回答对或错，每小题3分，共15分)
6.设随机变量X〜N(l,l)，其概率密度为/(x)，且分布函数为F(x)，则
F{X Wl}=F{XNl}=0.5 成立。( )
7.设两个相互独立的随机变量的方差分别为4和2,随机变量3X-2Y的方差是16。( )
8.设随机变量T服从自由度为》的£分布，则随机变量I?服从F„,lo ( )
9-在假设检验中，记为备择假设，则称“若H,不真，接受H】”为犯第一类错误。（ ）
3
IO.Ka, =»粉（£=1,2,3）为因素在A的三个不同水平试验指标之和。（ ）
j
得分评卷人 三、计算题（每小题10分，共50分）
11.一个靶子是一个半径为2米的圆盘,设每次射击均能中靶，且击中靶上任一同心圆盘 的概率与该圆盘的面积成正比，以X记弹着点与圆心的距离，求X的分布函数。
12.某灯泡厂生产的灯泡的平均寿命原为2000小时，标准差为250小时，经过技术改造 使平均寿命提高到2250小时，标准差不变，为了确认这一成果，检验时办法如下：任意挑选若 干只灯泡，如这些灯泡的平均寿命超过2200小时，就正式承认技改有效。欲使检验通过的概 率超过0. 997,至少应检查多少只灯泡？（提示：查表/T/5 2 2. 75）
13.从正态总体N（3.4,62）中抽取容量为n的样本，如果要求其样本均值位于区间 （1.4,5. 4）内的概率不小于0.95,问样本容量“至少应取多大？（提示：査表当法1.96）
14.设随机变量X〜N（a,°2），求E（|X—a|）。
15.在设计导弹发射装置时，重要事情之一是研究弹着点偏离目标中心的距离的方差。 对于一类导弹发射装置，弹着点偏离目标中心的距离服从正态分布N（“ ,尸），这里a2 = 100 米2,现在进行了 25次发射试验，用S2记这25次试验中弹着点偏离目标中心的距离的样本方 差。试求S2超过50米z的概率。
得分评卷人
四、证明题（本题20分）
16.设总体X具有二阶矩，E（X）= “，D（X）=o2,从中获得样本Xi,Xz，…，X”，则可证 明云是“的无偏估计，但$不是/的无偏估计，而*是/的无偏估计。
试卷代号:1091
国家开放大学（中央广播电视大学）2017年秋季学期“开放本科”期末考试
应用概率统计试题答案及评分标准（半开卷）
（供参考）
2018年1月
一、填空题（每小题3分，共15分）
1- 4
2./x （工）• fv（y）
3.0. 975
4.97
5.显著
二、 判断题（回答对或错，每小题3分，共15分）
6.对 7.错 8.错 9.对 10.对
三、 计算题（每小题10分，共50分）
11.解：若z V0,则（XV*）是不可能事件，于是
FG） =P（X G）=0。 （1 分）
若0 W* V2,由题意知，尸（OMX 是某一常数，为了确定左的数值，取z
=2,由于（0<^ <2）是必然事件， （2分）
所以，
1 =P（0 W X V 2）=左• 22=>左=1/4, （1 分）
即
P（0 W X W Z）, （1 分）
4
于是
F（x） =P（X V*）=P（X〈0） +F（0MX Wz） =0 + 丁。 （1 分）
若Z》2,由题意知(X Vz)是必然事件，得
F&) =F(X 0) =1
总之，
0, x < 0,
F(sc)=< 工2/4, 0《工 <2, (2 分)
.1, 工 2 2,
即为所求的X的分布函数。
1 n
12.解：设需取”只灯泡检査。X*为第&只灯泡的寿命，则成”X*为&只灯泡的平均寿
命，所以要解决的问题是：求最小的&，使
p［ — ^Xt > 2200)^ 0. 997O (2 分)
n k = \ ‘
因为兴=E(X*)=2250s=47X5 =250Q =l,2,-,n)，由独立同分布中心极限定
理，有
(3分)
査正态分布表可得:V^/5>2. 75,即”2 (13.75) 2 = 189.0625,故取” =190时可满足要求。
(2分)
„ _ V _ Q 4
13.［分析］要计算概率 P(1.4<X<5.4)即 P(|X-3.4|<2)而—— 〜N(0,l),
6/Vn
故利用标准正态分布可求出所求概率。
1 n
解：因为X〜N(3.4,62),设X=—习X；, (2分)
72
X — 3. 4
6/ *Jn
N（O,1）
（2分）
从而
P {1.4 V又 V5. 4}=P{—2〈又一3.4 V2} （1 分）
=P{|X-3.4|<2）
|X-
3. 4 I
6 / 4n
v n
=2①（亍）一 1 三 0. 95
（1分）
（1分）
（1分）
即①（*）三0.975。查表得争 2 1. 96, n > （1.96 X 3）2 2 34. 57,所以样本总量n至
少应取35。
（2分）
注：明确一般正态分布与标准正态分布的转化，即X〜N（“，/）,则七冬〜n（0,1）。从
<3
而P{a<X<b}=畝上勺一①（二。
a a
H+oo 1 C—g〉2
\x — a\’ ^-e ~dz
15.解：根据教材定理6.4.1
（zz -1）S2 2
于是
FS>50} = F（夂弓箜〉
\ （3
（n 一 1）50
V / ioo I
= F{%； > 12} > 0. 975 于是我们以超过97.5%的概率断言，乎超过50米气
360
（4分）
（4分）
2分
（2分）
（3分）
（3分）
（2分）
四、证明题（本题20分）
16.证明：这是因为
_ 1 ° 1 ”
E（X）=^”E（X；）=成馬兴=兴 （3分）
而
E（Sf） =E（:力 X： —須）=§以80?） —E（須） （3分）
=—蚓（b 2 +/Z 2 ） _ （ p2 ） （2分）
n — 1 n°
= a2 乂广
n （2分）
但是对其作一修改便有
E（S2） =E（毛）=宀• ^^2 =°z m — 1 f n — 1 n （3分）
故甘是k的无偏估计，所以在不少场合，特别在小样本场合，人们用S2去估计方差。
对宇 而言，尽管亨不是广的无偏估计，但当n — 8时，有
limE（SO=ff2 （5 分）
n-*co
我们称sf是/的渐近无偏估计。 （2分）
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