试卷代号:1091
国家开放大学(中央广播电视大学)2014年秋季学期“开放本科”期末考试
应用概率统计 试题(半开卷)
2015年1月
得 分 评卷人
：—一、判断题(回答对或错，每小题4分，共20分)
1. 设随机变量£和’相互独立,D(f)=2,D(v)=4,则D(2f-v)=10.( )
2. 若zi心，…，是取自正态总体N(六，7)的一个样本，则王=§ 服从N侦土).
( )
3.袋中有5个球，(3个新2个旧)，每次取一个，无放回地取两次，则第二次取到新球的概 率为()
4.设随机变量X和丫的方差存在且不为零，若D(X+Y)=D(X)+D(Y)成立，则X和丫
—定相关.( )
5.回归分析可以帮助我们判断一个随机变量和另一个普通变量之间是否存在某种相关关
系.( )
得分评卷人
二、填空题(每空格4分，共32分)
C
6.设 X 的概率分布为 P(X=&)=n，& = 0,l,2,3,则 C = .
7.设随机变量X在(0,1)服从均匀分布，则Y=ex的概率密度为
8.在［0,招范围内，随机变量&的可能值充满区间 时，则p(z)=cosz可以成为随 机变量&的分布密度函数.
9•设随机变量X的分布律为P（X =，）=a。豆■。= 0,1,2,。・。），其中A>0为已知常数, 则常数a为 .
10.设Xj ,X?,…，X“是来自总体X〜N（“,釦的样本，且扌未知，用样本检验假设H。寸=內
时,采用统计量是 .
11.如果因素A的为个不同水平对总体的影响不大，则F啓为 ；反
卜E
之 .
12.设X」,X2,-,Xn是来自总体X〜N顷,『）的样本，若方差/未知，要对“进行区间 估计，则选取函数Q为 .
得 分 评眷人
—一三、计算题（每小题7分，共28分）
13.从大批电子管中随机抽取100只，抽取的电子管的平均寿命为1000小时，可以认为电 子管寿命服从正态分布，已知标准差a=40小时，以置信度0. 95求出整批电子管平均寿命的 置信区间.（已知«0, 05/2 = 1 . 96）
14.已知一元线性回归直线方程为$ = & + 4.」：，且M=3,亍==6,试求a.
15.从正态总体N（3. 4,6?）中抽取容量为”的样本X, ,X2，…，X”.如果要求其样本均值 又= + £x,位于区间（1.4,5. 4）内的概率不小于0. 95,问样本容量n至少应取多大？ 附标准正态分布表：
⑦(z) = f – ~—-e’ (1/ £ 72^
1, 281. 6451. 962. 33
史(z) 0. 900 0. 950 0. 975 0. 990
tCj^y2 ,0VmV1 ,0VyVl
16.设（了顷）的密度函数为？（工以）= 卄宀-，求常数C,并判断，与小
10, 其匕
是否相互独立？ 得分评卷人
四、证明题（20分）
17.设X.X2,…，X.…是相互独立同分布的随机变量序列，已知E（Xf）=饥以=1,2,3,4）. 证明当n充分大时，随机变量Z„ ==丄£韻近似服从正态分布,并指出其分布参数.
n ； = 1
试卷代号:1091
国家开放大学（中央广播电视大学*014年秋季学期“开放本料*霸末考试
应用概率统计试题答案及部分标准开卷）
（供参考）
2015年1月
、判断题（回答对或错，每小题4分，共20分）
1. X 2. \/ 3. V 4. X
、填空题（每空格4分，共32分}
—,l<-v<e
7.fY （y）=〈 >’ ‘
［。,其他
8.
8.a — e A
1 n插（X 一内）
11.较小：较大
12.Q=T=W
4n
三、计算题（每小题10分，共30分）
13.解：设X为电子管寿命，已知X〜 W，故有总体均值F的置信度为0- 95的置 信区间为
{jr — u0.05-2 ,x + u0, :；5/2 —I （3 令•）
\ ‘ V100 100 1 ‘
由已知条件 1000 ,a = 0. 05 ,u0.05/2 ~ 1. 96 （3 分）
代入上式得
（992. 16,1007. 84） （1 分）
14. 解：一元线性回归直线方程具有如下形式以=卜缶， （3分）
由题设条件可知5> = <2 + 4z,因此6 = 4.
又因为亙=3,万=6,所以a.=’y~bi = —&<, （4分）
15.解：以乂表示该样本均值，则
星书*〜N（O，1） （1分）
从而有
P（1.4<X<5.4）=P（-2<X-3.4<2}=P{ |X-3.
16 6丿
=2页便）一 1河.95 （2分）
故①修J20. 975 （1分）
由此得普21. 96 （1分）
即儿2（1. 96X3）2^34. 57 （1 分）
所以〃至少应取35. （1分）
16.解：因为 1 =「? Cxy2dxdy=^，所以 C = 6. （3 分）
J 0 J 0 0
取 g（z） = 2工，（0 <； z v l）；h（y） — 3。，（。V 丿 V 1），则有 p{x,y） = g（z） • 7i（ v） ,p{x ,y~） 可分离变量，故E与相互独立. （4分）
注：在验证£与卩是否相互独立时，也可以通过对联合密度函数的两个变量分别求积分得 到两个边缘密度函数.
四、证明题（20分）
17.证明：依题意，X| ,Xz，…，Xn独立同分布，知X、X3“，X《也独立同分布，且有
E（X?） =O2,D（Xf） =E（X?） —（E（X,））z =O4 —房 （5 分）
由中心极限定理知
力 X? — Zia 2 丄为 X? — az 7 _
Yn = y^=== = “ 了-……；• – =号二七 （10 分）
Vn（a4 —房） /a 4 —房 /ai 一a\
的极限分布是标准正态分布.所以当〃充分大,巴近似服从标准正态分布，从而 Zn = 波K +。2近似服从参数为卩f，/ =七£的正态分布. （5分）
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