试卷代号:1091
中央广播电视大学2005-2006学年度第二学期“开放本科”期末考试
数学专业应用概率统计试题
2006年7月
题号 一 二 三 四 总分
分数
1.设A、B、C是3个随机事件，则“三个事件都不发生”用A、B、C表示为
2.若事件A、B、C相互独立，则P(AUBUC)=
3.设离散型随机变量X的概率分布为
X 工2 … xk …
对应取值的概率 Pl Pz … Pk …
除了要求每个P*>0之外，这些P*还应满足 ;
4.若随机变量X服从区间［0,2招上的均匀分布，则E(X)= I
5.设随机变量X的概率分布列为P(X2) =若广以= 0,1,2，…以〉0),则D(X) =
6.(X, y )为二维随机向量，其协方差cov (X, Y)与相互系数(OXY的关系为
7.已知 E(X) = 3,D(X)=5,则 E(X+2)2= ；
8.设离散型随机变量X的概率分布为
X 0 1 2
P* 0.5 0.3 0.2
其分布函数为F(x),则F(3)= ;
9.设Xi，Xz，…，X.为总体X〜N(W)的一个简单随机样本，若方差/未知，则“的(1
_a)的置信区间为 ；
10.设样本X|,X2，”・，X”来自N(M),且＜/ = 1.69,则对检验：H°：“=35,釆用统计量
得分评卷人
二、判断题:若对,打“/’；若错，打“X”(本大题共有10个小题，毎小
题2分)
1.X.Xz，…，X”是取自总体N(“,/)的样本，则X = 服从N(0,l)分布；
( )
2.设随机向量(X,Y)的联合分布函数为F(x,y),其边缘分布函数Fx(工)是Jim F(x,
y); ()
3.设 口=伐| —8VzV + 8 } ,A= {工10W*V2} ,B~ {z I 1MzV3}，则 AB 表示{z 10V工
VI}; ()
4.若P(AB)=O,则AB 一定是空集； ( )
5.对于任意两个事件A、B,必有A(TB=AUB; ( )
6.设A、B、C表示3个事件测ABC表示“A、B、C中不多于一个发生”； ( )
7.A、B为两个事件，则ABUAB=A； ( )
8.已知随机变量X与Y相互独立，D(X) = 8,D(Y) = 4,则D(X—Y)=4； ( )
1 1 O
9.设总体X〜N(“,1),X|,X2,X3是来自于总体的样本,Jil!j/； = yX1+yX2+yX3是“
的无偏估计量； ( )
10.回归分析可以帮助我们判断一个随机变量和另一个普通变量之间是否存在某种相关
关系。 ( )
734
得 分 评卷人 三、计算题(本大题共有7个小题，每小题5分)
1.设X〜N( — 3,42),试求X的概率密度为
«z€(O,A)
2.随机变量f的密度函数为P(工)=」’ ‘，其中A为正常的数，试求A。
[0, 其他
3.设随机变量£服从二项分布，即£〜BS,力)，且Ef=3/ = *,试求如
4.已知一元线性回归直线方程为y=a + ix,且5=3,^ = 6,试求旗
5.设随机变量X与丫相互独立，且D(X) = 3,D(Y) = 4,求ZMX—4Y)。
6.设总体X的概率密度为
片+1)把，OVzVl, /(x；(9)=J 式中(9> —1是未知参数，Xi ,Xz，…，X”
I 0, 其它，
是来自总体X的一个容量为〃的简单随机样本,用最大似然估计法求。的估计量。
7.设Xi,Xz，…，X”是取自正态总体 N(0,/)的一个样本，其中。>0未知。已知估计量
? =»史无 是/的无偏估计量，试求常数如
1=1
得分评卷人
四、证明题(本题15分)
1.若事件A与B相互独立，则2与B也相互独立。
2.若事件 ACB,则 P(A)MP(B)。
试卷代号：1091
中央广播电视大学2005-2006学年度第二学期“开放本科”期末考试
数学专业应用概率统计试题答案及评分标准
（供参考）
2006年7月
一、填空题（本大题共有10个小题，每小题3分）
1.ABC
2.P(A) + P(B)-bP(C)-P(A)P(B)-P(A)P(C)~P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)
3.P* = 1
1
4.n
5.A
一 cov（X,Y）
, Pxy~
7.30
8.1
9-紂修）］
m V^（X-35）
—o—
二、 判断题（本大题共有10个小题，每小题2分）
1.错 2.对 3.错 4.对 5.对
6.错 7,对 8.对 9.错 10.对
三、 计算题（本大题共有7个小题，每小题5分）
1.解：因为随机变量X服从正态分布，所以它的密度函数具有如下形式:
(4分)
进而，将“=一3t=4代入上述表达式可得所求的密度函数为:
736
/(x) ==— , xE ( —oo, +cxd) o (3 分)
4再
<2x, x€(0,A)
2.解：由题设可知随机变量f的密度函数为力(工)=丿 ，其中厶为正的常
[0,其他
数，利用密度函数性质「8力(力丑=1 , (2分)
可得：J；2_rdz=l，解得 A=l0 (5 分)
3.解:由题设可知£服从二项分布，即E〜B(.n,p)，且E(£) = 3 ,/> = *,
又因为E(Q = np, (2分)
所以3 = yn,解得儿=21。 (5分)
4. 解：一元线性回归直线方程具有如下形式：5>=a+bx, (3分) 由题设条件可知夕渤+ 4’，因此6 = 4。
又因为运=3,歹=6,所以a = y~bx=—6a (4分)
5.解：由题设知X与Y相互独立,利用方差的性质可得DCX-4Y) =D(X) +160(7).
(5分) 又因为D(X) = 3,D(Y) = 4,代入上式可得D(X-4Y)=67O (2分)
6.解:似然函数为
II(0+1 )x?=(0+1)”r0<xi ,»x„<l,
L(0)=Ji=1 i=1 (3 分)
0, 其它
对0Vz,V13=1,2,“・m,对L(0)取对数，则有
lnL(0) = nln(0+1)+。、1皿
t = l
令警=击+公皿=° (2分)
得 0=_1_丁1_导。 Slnx；
所以参数0的最大似然估计量为
沁一 1 — L—。 (2 分)
SlnX,
t = 1
7.解：因为X”Xz，…，X”是取自正态总体NCO.a2)的样本，其中°>0未知，所以
E(X；) = D(X,) + (E(X,))2=/+o2=/； (3 分)
又因为题设条件要求訐=&史X：是护的无偏估计量，所以利用无偏性的定义应有：
・ 1 = 1
E(?)=<72,BP E(^SX?)= ^SE(X?)=ff2, (3 分)
将E(X?)=<72代入上式可得常数蚌七。 (1分)
四、证明题(本题15分)
证明：
1.因为B=BAUR5 且 BA 与 B有互斥，所以 P(BA) = P(B)-P(BA)； (3 分)
由题设可知事件厶与B相互独立，所以P(AB) = P(A)P(B),代入上式可得： (2分)
P(BA) = F(B)-P(BA) = P(B)-P(B)P(A) = P(B)C1-P(A)] = P(B)P(A), 故有与B相互独立。 (3分)
2,因为事件AUB,所以可将事件B拆分为B=AU(B有),其中A与B有互斥；(3分)
因而 P(B) = P(A)+P(BA)； (2 分)
又因为任何事件的概率恒大于等于零(即：非负)，故有F(A)<P(B)O (2分)
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