试卷代号：1091
中央广播电视大学2005-2006学年度第一学期“开放本科”期末考试
2006年1月
题号 一 二 三 四 总.分
分数
碍 分.评.卷人_ 一、填空题(本大题共有10个小题，每小题3分)
1.设A、B、C是3个随机事件，则事件“A、B、C至少有一个发生”用A、B、C表示为
2.设事件厶与B相互独立，若已知P(A (J B) = 0. 6, F(A) = 0. 4,则P(B)=
3.事件 A 与B 互不相容，且 P(A)=0.4,P(B)=0.3,则 P(AB)= ;
4.设 X〜N( 1,4),且 丫=捋是，则 E(Y) = ;
5.当X的数学期望E (X )与E(X2)都存在时，X的方差定义为D(X) =
6.设二维离散型随机向量(X,Y)的联合概率分布为A,=P{(X,Y) = (_r,,y)}(i,顶=1,
2,…)，则X的边缘概率分布为 ;
7.设 g,”是二维随机变量(X,y)的联合密度函数fxJ)与后(丁)分别是关于X与y 的边缘概率密度，且x与y相互独立，则有户(工以)= ；
8.对于随机变量X,仅知其E(X)=3,D(X) = &，则由契比雪夫不等式可知P(|X — 3| <2)2 ;
9.设X〜N(灼，屏)，丫〜N(词，般)，X与Y相互独立，X|,X2,・”，Xp是X的样本，匕， %,•••,¥% 是 Y 的样本，则 D(X~Y)= ;
10.Xi ,Xz，…，X,,是总体X的简单随机样本的条件是：(1) ; (2) 。
得分评卷人
二、判断题：若对，打“/”；若错，打“X”(本大题共有10个小题，每小 题2分)
1.X1X，…，X,,是取自总体N(必/)的样本，则X =丄史X,服从N(0,l)分布；
n i=l
• ( )
2.设随机向量(X,Y)的联合分布函数为F(w),其边缘分布函数Fx&)是F(*,0)；
( )
3.设 Q—{x\ —oo<a：< + oo} ,A = {z| 0W*V2} ,B= (x| 1C^<3},则 AB 表示{工| —8
W_rV0｝ U■｛工I 1£hV + 8｝； ( )
4. 若事件厶与B相互独立，则A与B一定互斥； ( )
5. 对于任意两个事件A、B,必WAnB=AUB； ( )
6.设甲、乙、丙人进行象棋比赛，考虑事件A=｛甲胜乙负｝，则冗为｛甲负乙胜｝;( )
7. 设A、B、C表示3个事件，则ABC表示小、B、C三个事件都不发生”； ( )
8. 若A、B为两个事件,则必有AB^AB = A; ( )
9.设随机变量X和Y的方差存在且不为零，若D(X + r)= D(X) + D(Y)成立，则X和
Y一定不相关； ( )
9 9 1
10.设X〜N(H),X.X2,X3来自于总体的样本/=寻乂】+宣& +寻乂3是”勺无偏 估计量;
碍 分一评萱三、计算题(本大题共有7个小题，毎小题5分)
1.已知随机变量X服从二项分布B(n,p),且E(X) = 6,D(X) = 3.6,试求二项分布的参 数〃的值。
2.设X〜N(2,4),试求X的概率密度为心。
3.设连续型随机变量X的密度函数为
<ax-\-b, OVhVI,
六工)=J
1 0, 其他，
且E(X) = y,试求常数a和久
nx
4.当随机变量X服从普阿松分布时,试求験的值。
5.若随机变量X在区间(1,6)上服从均匀分布，试求方程y2+Xy+l = 0有实根的概率。
6.已知随机变量X〜N( —3,1),Y〜N(2,l),且X与Y相互独立，设随机变量Z=X— 2Y+7,试求Z的密度函数。
摩-‘端+3，>, j>0,y>0
7.设(X,Y)的联合密度函数为伙工以)=」 ，试求(1)常数A;
1 0, 其他
(2)X的边缘密度函数。
得分评卷人
四、证明题(本题15分)
一个电子线路上电压表的读数X服从［们0+1］上的均匀分布，其中。是该线路上电压的 真值,但它是未知的，假设X|,Xz，…，X,,是此电压表上读数的一组样本，试证明：(1)样本均 值乂不是0的无偏估计；(2)0的矩估计是。的无偏估计。
试卷代号：1091
中央广播电视大学2005-2006学年度第一学期“开放本科”期末考试
小学教方讒学与应专业应用概率统计
试题答案及评分标准
(供参考)
2006年1月
一、 填空题(本大题共有10个小题，每小题3分)
1.AUBUC
2.1/3
3.0. 3
4 1
5.E(X2)-(E(X))2
6.pi = p„ (/■ = i,2,…) •
J
7.fx3 • fy(y)
8.0. 99
9.D(X) + D(Y)顼 + 戒
“i n2
10.(l)Xi，X2,…，X”相互独立;(2)Xl,X2,-,X„与总体X有相同的概率分布
二、 判断题(本大题共有10个小题，毎小题2分)
1.错 2.错 3.错 4.错 5.对
6.错 7.对 8.对 9.对 10.对
三、计算题(本大题共有7个小题，每小题5分)
1.解：因为随机变量X〜B(心p),所以
E(X) = np,D(X) = Hp(\ — p)、 (4 分)
由此可得〃力〃)= 3. 6,解得 〃=15,/> = 0. 4； (3 分)
743
2.解：因为随机变量X服从正态分布，所以它的密度函数具有如下形式:
了= ,1 (―cx?<x< + oo)；
4^
进而，将* = 2仆=2代入上述表达式可得所求的密度函数为:
/■(z) =—工€( — 8, +8)。 2 727
3.解：因为随机变量X的密度函数具有如下形式
又因为 E(Z)=E(X) —2E(Y)+7 =— 3 — 2X2 + 7 = 0,D(Z) = D(X)+40(Y) = 1 + 4X1
=5, (2 分)
由此可知所求的概率密度为/z怂)=Y^exp( 一#). (2分)
a/W 10
n
8 r+s (*+8 a
p(x9y)dxdy = A\ e~2xdx\ e~3ydy = 丁？所以 A ~ 6；
8 Jo Jo o
(4分)
(2)px (^) — f p(x,y)dy — f 6次2宀少旳=[ ef’d_y = 2『如(x〉0). (3 分) J -8 J 0 J 0 .
四、证明题(本题15分)
证明：(1)因为X服从卬,0+1]上的均匀分布，所以X的数学期望E(X) =四岑土1^ = 0
+夺；又因为Xi，Xz，…，&是一组样本，因此样本均值工的数学期望E(X) = E(X)=0十扌
丈仇故X不是0的无偏估计； (8分)
(2)利用矩估计方法，令E(X)=X,即0+y = X,故0的矩估计为工一§，
又因为E((X — *)=0,知它是0的无偏估计。 (7分)
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