试卷代号：1091
中央广播电视大学2003-2004学年度第一学期“开放本科”期末考试
数学与应用专业应用概率统计试题
2004年1月
题号 一 二 三 四 总分
分数
得分评卷人
一、填空题(本大题共有10个小题，毎小题3分)
1.设A、B、C是3个随机事件，则“3个事件中恰有一个事件发生”用A、B、C表示为
2.若事件A、B满足空集)，则称A与B ;
3.设 A、B 互不相容，P(A) = p,P(B)=q,则 PCAB)= ；
4.甲、乙两门高射炮彼此独立地向一架飞机射击，设甲击中的概率为0.3,乙击中的概率 为0. 4,则被击中的概率为 ?
5.设随机变量X的数学期望是E(X),那么其方差D(X)是 的数学期 望；
6.设随机变量X服从普阿松公布，且P(X=3) = §e-z,则E(X)= ；
7.若随机变量X与丫相互独立,E(X) = a,E(Y) = 2,则E(XY)= ；
8.设而与必是未知参数。的两个 估计，且对任意的。满足D(&)VD
応)，则称毎比乱有效；
9.设Xi，Xz，…，X”是从正态总体NQz,/)抽得的简单随机样本，已知/=*,现检验假
设Hpf，则当 时,巫也庭服从N(O,1)；
10.在对总体参数的假设检验中，若给定显著性水平a(0<a<l),则犯第一类错误的概率
是 O
得分评巻人
二、判断题：若对，打“/’；若错，打“X”(本大题共有10个小题，每小
题2分)
1.Xi,Xz，…，X,,是取自总体 W)的样本，则X = 服从N(0,l)分布；
( )
2.设随机向量(X,Y)的联合分布函数为F(x,y),其边缘分布函数Fx&)是F(h,0)；
( )
3.设 ｛工| 一8〈工< + 8｝ ,A = ｛工| 0VzV2｝ ,B= ( 1^x0｝ ’则 AB 表示｛工 | 0Vr
<1｝ ( )
4.若事件A与B互斥，则A与B一定相互独立； ( )
5.对于任意两个事件A、B,必有AAB-AUB； ( )
6.设甲、乙、丙人进行象棋比赛，考虑事件A= ｛甲胜乙负｝，则A为｛甲负或平局｝;( )
7.设A、B、C表示3个事件，则ABC表示“A、B、C中恰有一个发生”； ( )
8.设为两个事件，则AB\JAB^AUB; ( )
9.已知随机变量X与Y相互独立，D(X) = 16,D(n = 4,则D(X-V) = 12； ( )
10.设X〜N(兴，1) ,Xi ,X2 »X3来自于总体的样本»/z = ~-Xi +-^X2 +^-X3是*的无偏
估计量°
1.设有10个零件，其中2个是次品，任取2个，试求至少有1个是正品的概率。
2.设随机变量X的概率分布律为：
X -2 -1 0 1 3
pt 1 1 1 1 11
5651530
求V=X2的概率分布律。
3.已知离散性随机变量X服从参数为人的普阿松分布，若P(X=1) = P(X = 2),试求参
数”勺值。.
4.当随机变量X服从区间［0,2］上的均匀分布，试求的值。
(Cxy2, 0VhV1,0VjV1
5.设(£,?)的密度函数为力(*以)=丿 ，求常数C,并判断占与？
1 0, 其他
是否相互独立？
6.已知 D(X)=25,D(y)=36,(Oxy=0. 4,试分别计算 cov(X,Y) ,D(X + V)和 D(X-
V)o
7.设总体X的概率密度为
+ 1)狞，OVzVl,
=J
［0, 其它，
式中0〉一1是未知参数是来自总体X的一个容量为72的简单随机样本， 用矩估计法求。的估计量。
得分I评卷人
四、证明题(本题15分)
若三个事件A、B、C相互独立，则AUB与C独立。
试卷代号:1091
中央广播电视大学2003-2004学年度第一学期“开放本科”期末考试
• 数学与应用专业应用概率统计试题答案及评分标准
（供参考）
2004年1月
一、 填空题（本大题共有10个小题，每小题3分）
1.ABC UABC UABC
2.互不相容
3.q—1
4.0.58
5.（X—E（X））2
6.2<2
7.“
8.无偏
9- Ho成立
10. a
二、 判断题（本大题共有10个小题，每小题2分）
1.错 2.错 3.错 4.错 5.错
6.对 7.错 8.错 9.对 10.错
三、 计算题（本大题共有7个小题，每小题5分）
1.解：从有2个次品的10个零件中任意取两个零件的取法总数为：” = G°=45；（2分）
而取出的2个零件中没有正品（即：所取的两个零件都是次品）的取法数为:m = C^ = l,
（3分）
从而利用古典概型的概率计算公式可得至少有1个是正品的概率为1—2=i—m=i一
4 =制 （2分）
835
2.解：由于随机变量X的概率分布律为:
X -2 -1 0 1 3
Pk 1 1 1 1 11
5651530
故Y=X2的可能取值为：0,1,4,9。 (1分)
对应的概率分别为：
F(Y=0) = F(X2=0) = F(X = 0)=y； (1 分)
F(Y=1)==F(X2 = 1)=F(X=-1) + F(X=1) = -^ + Jf
b 15 =7_
~305 (1分)
P(y=4) = P(X2=4) = P(X=-2) + P(X=2) = ^ + 0 = -^;
0 0 (1分)
P(Y=9) = P(X2 = 9) = P(X=—3)十 P(X=3) = 0 +芽=齢。 (1分)
最后列成概率分布表为:
y0149
pk17111
530530
(2分)
注：此题若没有求解过程，而直接列出上述概率分布表也不扣分。
3.解：因为随机变量X服从参数为人的普阿松分布，所以X的概率分布为：
P(X = Q=*「，E = 0,l,2,・“；
又有题设条件P(X=1) = P(X—2),因此
aV2=aV2
由上述方程解得参数人的值为2。
4.解：因为随机变量X服从区间［0,2〕上的均匀分布，所以
E(X) = % = 1, 1)京)=与笋=?； (6 分)
因而爲7 = §。 “分)
取 g（z） = 6z,（0VzVl）；/i3）=y,（0V3；Vl）,则有 0（工，y） = g（工）• /i（y）,0（z 以）可 分离变量，故8与〃相互独立。 （4分）
注：在验证W与7是否相互独立时，也可以通过对联合密度函数的两个变量分别求积分得 到两个边缘密度函数。
6.解：由题设 D(X) =25,0(7)=36,^=0. 4,所以
cov(X,Y)=(OxyV/D(Xyv/D(Y)’=0. 4X5X6=12； (3 分)
D(X+y)= D(X)+D(y)+2cov(X,y)= 25 + 36 + 2X 12 = 8.5； (2 分)
D(X—y)= D(X)十 D(y)—2cov(X,y)= 25 + 36 —2X 12 = 37。 (2 分)
1
7.解：E(X) = J ocf{x^6′)dx = D^1 dx =膏](3 分)
0
由矩估计法知，令
果=X （3分）
得参数。的矩估计量 0=一「项 =0。 (1分)
四、证明题(本题15分)
证明：因为A、B、C相互独立，所以
F(AC) = P(A)P(C)； (2 分)
F(BC)-F(B)P(C)； (2 分)
F(ABC) = P(A)P(B)P(C)； (2 分)
从而，我们可得
P((AUB)C) = P(ACUBC)-P(AC)+P(BC)-P(ABC)
= P(A)P(C) + P(B)P(C)-P(A)P(B)P(C)
-P(C)[P(A) + P(B)-F(A)P(B)]
= P(C)P(AUB)
由独立性的定义可知:AUB与C独立。 (9分)
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