试卷代号：1087
国家开放大学2019年秋季学期期末统一考试
数学分析专题研究 试题（半开卷）
2020年］月
题号 —- 二 三 四 总分
分数
碍 分 评卷入 一、单项选择题（每小题4分，共20分）
1./：x-y是双射当且仅当/（ ）. ,
A.是单射 B.是满射
C.既是单射又是满射 D.既不是单射又不是满射
2.平面上任意两条直线妇与Z2具有关系R定义为e R当且仅当4与侃平行. 则关系R（ ）.
A.仅有反身性 B.仅有对称性
C.仅有传递性 D.是等价关系
3.自然数集具有而整数集不具有的性质是（ ）.
A.良序性质
C.完备性质 B.稠密性质
D.有限性质
4.把有理数集扩充到实数集是（ ）运算封闭的需要.
A.加法 B. 乘法
C.开方 D. 极限
5.（）是方程挤=1的根.
+尊 B. V3
X =—
2 2 2
r 1 •
c.工十 D. V3 , 1 .
■r = (- ?
2 2
二、填空题(毎小题4分，共20分)
6.(A U B)-C = (A-C) U .
7.设 /■:Xf Y,A,BUX,则/(A A B) /(A) p| /(B).
8.若 sinz =吏 <2以+1力2*+1，贝|J a2t+i = .
k = Q
9. 设A是一非空数集，则— supA当且仅当1) V a £厶V,2)
10.设工>0,定义LG)=『丄也.则对于工〉0,y >0,有L(玲)=LCr) L(y).
J 1 t
得分评卷人 三、计算题(每小题15分，共30分)
勺疽-I- 1
11.求/U)=—的斜渐近线方程.
+ 1
12.求> =3x + sinx ,x =0,x =^,y =0所围成的曲边梯形的面积.
得分评卷人 四、证明题(每小题15分，共30分)
… 一 r sirrr 2 — sinz 1 sinr 3 — sinz 2
13.设 0 Vhi V%2 Vz3〈心证明—— >—— .
X2~ TX X3 — X2
14.设y=fa)是定义在［0,1］上且取值于［0,口上的连续函数.证明，存在孙€ ［0,1］, 使得 /(x0) +卫2 =1.
试卷代号：1087
国家开放大学2019年秋季学期期末统一考试
数学分析专题研究试题答案及评分标准（半开卷）
（供参考）
2Q20年1月
一、单项选择题（每小题4分，共20分）
二、填空题（每小题4分，共20分）
6. (B — C)
7.
Ve>0,3czEA,使得 a > JCo — e
10. + 三、计算题（每小题15分，共30分）
Qr 2 -U 1
ii•求&）=Q 的斜渐近线方程.
解 设所求r（z）的斜渐近线方程为,则
6×2 + 2一6×2—3x
=hm
Mf 00
jr – •
12.求丁 =3% + sinz =0口 =万,y = 0所围成的曲边梯形的面积.
解 设所求曲边梯形面积为S,则
S = f2 （3x + sinx ） dx （8 分）
J 0
四、证明题（每小题15分，共30分）
… 一 „sinrr2—sinx i sinx^ 一 sinx2
13. 设 OVzi <； x2 Vz3 Vir,证明二〉二
2 — -Z 3 — X 2
证明 由拉格朗日中值定理可得
14.设是定义在［0,1］±且取值于［0,1］上的连续函数.证明，存在工。e ［0,1］, 使得 /（Xo） +xo = 1.
证明 设q（jt） = 1 — z3,令g（z）=甲（工）—/（工），则g（x）在［0,1］上连续，且
g（o）=1 一/（O） 2 O，g（L）=-/（l）＜ 0.
若g（O）=。或g（l）=0,则选取“0=。或心=1即可 （12分）
否则，g（O）＞ O,g（l） ＜0,由g（.x ）连续可得，存在G （0,1）,使得£怎°） = 0, 即
/（x0）+ 1 （15 分）
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