试卷代号:1087
国家开放大学2019年春季学期期末统一考试
数学分析专题研究试题（半开卷）
2019年7月
题号 一 二 三 四 总分
分数
得分评卷人
、单项选择题（每小题4分，共20分）
l.A,B,C 是三个集合,A-(BnC) = ( ).
A. (A-B)n(A-C) B. (A-B)U(A-C)
C. (AAB)-(Anc) D. (A UB)~(A UC)
2.设 / ： X-y,厶，BUX,则 f(AnB)(
A.= B. ZD
C. U D.尹
8 1
3.已知成(2”+1)! “F ，则/（工）=（ ）.
A. sinjr B. cosx
C. ex D. \nx
4. f (j：)~ln(H-j：)是( ).
A,对数函数 B.有界函数
C.代数函数 D.超越函数
5.已知在（a,3）内 则 在（aM）内是（ ）.
A.单调减函数 B.单调增函数
C.上凸函数 D.下凸函数
得分评卷人
二、填空题（每小题4分，共20分）
6-已知过原点的曲线上每一点处切线的斜率是该点横坐标的2倍，则f3 =
7.已知_f（z）在R上可导，且/（«）=0,则lim”（a+丄）=
n f 8 \ n }
8.已知 / （—） =4h —+ 須，则 / （工）= . .
9.J j：3sin2 j：cosj：dj： =.
10.已知A,B,C是某三角形的三内角，则cosA+cosB + cosC的最大值是 .
得分评卷人1 三、计算题（每小题15分，共30分）
11.已知 F（3/&）） = ［l +（y（z））2］扌，且壘■「’“，（了’（工））三0,求 j（z）,其中书是函
数火工）关于自变量工的导函数.
12.设 xy~>0,且 xy=x-}-y ,求 r+y 的最小值.
得分评卷人 四、证明题（每小题15分，共30分）
13.设a,3是两个无理数，且a<b,证明，至少存在一个无理数c,使a<c<b.
14.已知函数f（z）在［a, 3］上连续，在怎佔）内可导，且/（a）=/（6）=0,证明，存在 点 c e（a,b）,使 f（c）+r’（c）=0.
试卷代号：1087
国家开放大学2019年春季学期期末统一考试
数学分析专题研究试题答案及评分标准（半开卷）
（供参考）
一、 单项选择题（每小题4分，共20分）
l.B 2.C 3. A 4.D
二、 填空题（每小题4分，共20分）
6.x2
7.f’（.a）
10.
三、计算题（每小题15分，共30分）
U.解：已知F（y（工））=心+ （了’危））2，先求F?,有
F?（y（z））=j/（z）［l +（3/（z））芋
进而 y（»’（工））=；/’（卫）［1 + （財’&））2］万
=+3’（工））2］书=0.
从而有y”（工）= 0.
故有 丁（工）=。预+。2・
12.解：依题设女+丁 =*〉0,_z〉0以〉0,故有
丄+丄=1・
z 財
故可设一~cos20, — = sin2（9,，因此有
% y Z
,=1 I 1 _/ 2 y
X，cos16 sin2（^ \sin2t9）
故当20 = 3即（9 = 7时,尤+ 丁有最小值4. （15分）
四、证明题（每小题15分，共30分）
13.证明：取 C］=：S+b）
则a<cY<b.若门是无理数，则得证. （8分）
若C是有理数，选取
C2=?（a+c）
则6是无理数，且a<c2<cx<b,证毕. （15分）
14. 证明：令步愆）=//”&）,则在* 上连续，在（aM）内可导，且甲
=0,由罗尔定理可知，存在点c6（a,6）,使妒（c）=0. （7分）
因妒（工）=营/（尤）+//”（*）,
故妒（c） = e，［/（c）+/’（c）］ = 0.
因 W尹0,故广（c）+/Xc） = 0. （15 分）
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