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国家开放大学(中央广播电视大学)2018年秋季学期“开放本科”期末考试
数学分析专题研究 试题(半开卷)
2019年1月
题号 —- 二 三 四 总分
分数
1.A,B,C是三个集合，厶一(BUC) = ( ).
A. (A-B)D(A-C) B. (A-B)U(A-C)
C. (AnB)U(AAC) D. (AUB)fl(AUC)
2.设lima“=a>0,则存在自然数N,当n>N时，有( ).
A. a”=0 B. a.WO
C. a»>y D. a-<y
00 i
3.已知甲G) = “(-l)i ;则◎&)=( )•
A. sirtz B. cosx
C. ex D. ln(z + l)
4.设 /(x)=ax+, ,a>l,则函数 /(x)( ).
A.是指数函数 B.不是指数函数
C.是上凸函数 D.是单调减少函数
5./”&)=〈 工 ，则函数/’&)在(—oo,-|-oo)内是( ).
.0, 工=0
A.奇函数 B.周期函数
C.连续函数 D.可导函数
得分评卷人
二、填空题(毎小题4分，共20分)
6.J z’ cos，z di = .
7.设 .
8.设 /'(］)=二，则广(了)= .
9.设A = {1,2,3},则A的备集2入=
10./a)= (x3-6)(10-x3)的最大值是 .
得分评卷人
三、计算题(每小题15分，共30分)
11.求(1.001)会的近似值，误差不超过io-\
12.有一底面面积为S,高为人的正六棱锥，求其体积.
得分评卷人
四、证明题(每小题15分，共30分)
13.证明丿2+丿函二冃后是无理数.
V
“个根号
14.已知函数/愆)在［a,6］上连续，在(a M)内可导,/ (a ) = / (6 ) = 0,证明，存在点
cE(a,b),使避(c)-/(c)=0.
试卷代号：1087
国家开放大学（中央广播电视大学）2018年秋季学期“开放本科”期末考试
数学分析专题研究试题答案及评分标准（半开卷）
（供参考）
2019年1月
一、单项选择题（每小题4分，共20分）
二、填空题（每小题4分，共20分）
6. 0
(1+宀2
l + (l+x2)2
8.xz (Inz + 1)
9.{。，{ 1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3}}
10.4
三、计算题（每小题15分，共30分）
11.解:设 _/■&）=』，求/’（1.001）
/(I. 001)^/(l)4-/，(l)X0. 001
= 1 + X0. 001 = 1 + 0. 0001 = 1. 0001
12.解：建立直角坐标系Oxyz,使锥的底面在xOy平面上，锥的顶点在z轴上。在z轴
上任取一点z6（0,h）,过此点作平行于xOy的平面，截得锥截口面积记作S（z）,则
(7分)
所求锥体体积V为
s£(l-泸&
=扑 (15分)
四、证明题(每小题15分，共30分)
13.证明：采用反证法
假设】2+丿2 + …+戸=丄是有理数,a“= j2 + a“_| =?是最简分数，则2 +山_】
V n
“个根号
2 2
=(号)，宀=(勺)—2是有理数，如此继续进行下去，可得知口\=厄是有理数，这与 处■是无理数矛盾. (15分)
14.证明：构造辅助函数甲&) = £-，&),则中&)在也，幻上连续，在(a,b)内可导，且
甲(a) = Q(b)=0,由罗尔定理，至少存在一点c£(a,5),使得矿(c)=0. (8分)
因 (x ) = e~xf’ (x ) — e~xf (x )
故由妒(c)=O 得 er[/'(c)-y(c)] = O
因e，尹0,故有f(c)—f'(c)=0 证毕. (15分)
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