国家开放大学（中央广播电视大学）2017年秋季学期“开放本科”期末考试
数学分析专题研究 试题（半开卷）
2018年1月
题号 一 二 三 四 总分
分数
1.已知集合A={{a},b,c},则下列各式中正确的是（ ）.
A. {a}EA
C.0EA B. {a}(ZA
D. ({a},6}eA
2.已知 r ： RfRJ&）=2工+ 1, g ： RfR,g&）=/,则（ ）有反函数.
A. f°g
c./
8 1
3.已知 /(x)=习—j-x”,则 _/&)=(
A. sinr b- g°y
D.g
).
B.cosx
C. b D. ln(l + x)
]/ 2 \
4.已知 £2】—) 5 = 2,3,…，且 liman=a，则”“与 q 为( ).
A.有理数与有理数
c.无理数与有理数
5.方程工‘ 一2工。+4工+ 6 =。在（一1,1）内（
A.无实根
C.有两个实根 B.有理数与无理数
D.无理数与无理数
）.
B.有一个实根
D.有三个实根
6.已知 y&)在 R 上可导，则 lim —E/(a + t)—/(a-«)] =
10 t
7.曲线y = 2x-x3在点（1,1）处的切线方程是
9. J\3jc2 ~2x +l)dx =
10.设A,B,C是某三角形三内角，sinA + sinB + sinC的最大值是
11.求a为何值时，函数須0）= J1+/—心:是单调减少函数？
x2 v2
12.求双曲线—~~-1的渐近线.
a b
得分评卷人 四、证明题（每小题15分，共30分）
13.证明，若函数尸（工）在［aM］上连续，且对任意［aM］上的连续函数 “％）有
/（x ）99（JC ）dx =0,则 /（x ） = 0.
14.证明，函数/（x）=xsinx不是周期函数.
试卷代号：1087
国家开放大学（中央广播电视大学）2017年秋季学期“开放本科”期末考试
数学分析专题研究试题答案及评分标准（半开卷）
（供参考）
2018年1月
一、单项选择题（每小题4分，共20分）
二、填空题（每小题4分，共20分）
6. 2/（a）
8.（sin、），”nsin2工十坦揆
Lsin jc
9. 21
10.
三、计算题（每小题15分，共30分）
11.解：对函数/（z）求导数得
（z） = [] +工2]_歹 x —a
令甲（工）=[1 +工2]一成工，我们求中（X）的最大值，为此，对甲（％）求导得 妒&） = （1+卫2）7>0
即以”单调增加，而lim甲&） = 1,故甲（GV1,于是当时，广（GV0,因此fS
是单调减少函数.
则》= iimU=lim士纟丘三=士纟
j：f 8 JC 工-*■ 8 Q, jC Cl
q — = lim 士 —%/r2 ~— （士喚h
a \ a
故渐近线方程为尸±3 四、证明题（每小题15分，共30分）
13.证明：选取？（*）=/&）,则有「尸（我& = 0,假设_/怂）尹0,则存在一点工。e伝,6）,使八*。） X。,则由连续性知存在3〉0,当丨z —而\<$时，有产G） >扌产（*。）,从而有J’/Cr）& =
「上0—分 r^o+s rfc 1
f2（x）dx + /2（jr）dx + f2（x）dx > ~^-/2（x0） * 2^ >0
J a J Xq—5 J x0+5 Z
这与|72（^）dx =。矛盾，故 /（x） =0 （15 分）
14.证明：反证，假设fG）=zsinz是周期函数，T是它的一个周期，由于八工）在［0,7］ 上是连续函数，从而（工）在［0,’门上有界，由于假设_/（”是周期函数，故/’（工）是（一8,+ 8） 上的有界函数，即存在常数M>0,对任意工£（ —8,+s）,有寸（工）|VM. （10分）
另一方面，选取互=2硫+分，则f{xk ） =（2硫+亲）sin（2如+芸）=2硫+号
当&充分大，有f（xk）>M,这与|/Cr）|VM矛盾，说明/Gr）不是周期函数.（15分）
点点赞赏，手留余香
给TA打赏
评论0