试卷代号：1087 座位号匚口
国家开放大学(中央广播电视大学)2017年春季学期“开放本科”期末考试
数学分析专题研究 试题(半开卷)
2017年6月
题号 一 二 三 四 总分
分数
得分评卷人
、单项选择题(每小题4分，共20分)
1•设 _/■ ： XfY,则 VAUX/T 颁(A))=A0尸是( ).
A.单射 B. 满射
C.有界函数 D. 可微函数
2.已知甲(工)=、~\~x”，则笋愆)=().
A. sin 工 B. COS T
C・eJ D. In工
3.复数集C( ).
A.可以成为有序域 B. 不能成为有序域
C.不能成为有序集 D. 前三个结论都不对
4.若平3在点x =a可导，则1观)严=(
A. —2妒(<z) B. 2妒(q)
C.—妒(a) D. —
5.函数定义在怂，3)上，瓦& (a,3)是f(M)的极大值点，则(
A.工°是/(*)的最大值点 B.尸(z)存在最大值
C. f(z)不存在最大值 D.z。是一尸(z)的极小值点
得分评卷人 二、填空题（毎小题4分，共20分）
6.集合 A={a,b,c,d）,R 是 A 上的等价关系，且 A/R = {{a , b}, {c , d }},则 R =
7- J （sin3x + cos3）dz = .
8.若/（h）是区间愆亀）内的下凸函数，则对于V Xi ,x2 G （a , Va€ （0,1）,有ftax^ +
（1 ~a ）xz）W .
9.已知壬，则 f（f（Q）=-
10.若函数f （工）可导，且/’⑷=。,则lim渺’8+4）= .
n
得分评卷人 三、计算题（每小题15分，共30分）
11.求曲线y = 其中re（-l,D）上任一点怎。，丸）处的切线方程.
y2
12.求椭圆—+ ^–l（a>0,6>0）围成的图形的面积.
a b
得分评卷人 四、证明题（每小题15分，共30分）
13.设尸；X-Y,证明顶是双射台VAUX,有/•（X-A）=Y-y（A）.
14.设 x>0,y >0 且 x^=y,则有
T + V
（H +）） ” —-— < xlnx +y \ny .
试卷代号：1O87
国家开放大学(中央广播电视大学)2017年春季学期“开放本科”期末考试
数学分析专题研究试题答案及评分标准(半开卷)
(供参考)
2017年6月
一、 单项选择题(毎小题4分，共20分)
I.A 2. C 3. B 4, A 5. D
二、 填空题(每小题4分，共20分)
6. {(a ,a) ,(a ,b) ,a) ,(b ,b) .(c ,c~) ,d) ,(d ,c~) ,(.d ,d)}
7.0
8.a/fx, ) + (1—)
1
9.1——
T
10.0
三、 计算题(每小题15分，共30分)
II.解:先来求y 在任意点丸)的切线斜率=「工宁
— X
故艦百，从而切线方程3—贝=~-7兰子伝—工。) *分
V 1 — xl
注意到外故
―y0 (y — 了。)= zoz —工/
即了以+工”=1 15分
12,解:设所求的面积为S,由于图形关于x轴对称，关于丁轴对称，故其面积是所在第一
象限面积的4倍，因而
S — 4 [ -/a3 — -T2 d-r 7 分
J D 42
设 x =a sin/，则 d_r =a cosidi * 且当 jr=O 时”=0,工=<2 时’
所以有 S =4p —a2cos2/d( — tab fT(l + cos2z)dz
Jo a Jo
= 2ab{t + ；sin2D |7 =nab
四、证明题(毎小题15分，共30分)
13.证明广已知了是双射.
Vj6/(X-A),则存在 xEX-A,y=f(x),故丿 ey-TGA)
即 f(.X-A)t^Y-f(A)
yeY-f<,A),3xeX-A,y=f(x),^.yef(X-A)
即 f(X-A)^Y-fCA),故有 f(X~A)=Y-f(A)
“<=”先证/满:取A = 4即有“X)=Y
再证/单.假设f不是单射，即存在ai,a2eX,a^a2
/<«i)—/(a；)-选取 A = {ai)
一方面,/(X-A)-/(X-{«1})-/(X)=y
另一方面,/(X-A)=y-/(A)=y-{/(a,)}
矛盾，故r是单射
由于/•即是单射又是满射，故了是双射.
14.证明：设/<x) =xlnx.则对于h > 0有’
f’ (x~) — lor + 1, /*(工)=丄>0
x
故/(Q是严格下凸函数，
由下凸函数的性质有
r -I- y
即(x + j>)ln —-— < xlnj： + 丿血丿
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