试卷代号:1087
国家开放大学（中央广播电视大学）2016年秋季学期“开放本科”期末考试
数学分析专题研究 试题（半开卷）
2017年1月
题号 一 二 三 四 总分
分数
得分评卷人
一、单项选择题（每小题4分，共20分）
1.设 f – X—Y,则 VBuy,y（yT（B））=Bey 是（ ）.
A.单射 B.满射
C.有界函数 D.可微函数
2.设 limp（w）=50<O,则存在 8>0,当 0 </—乳|<3 时，有（ ）.
x~*xo
4 b B.
A.甲&）<万
b D.
C.甲（z）>w
8 （_ 1 A”
3.已知 <p（x） = XZn,则甲（:c）=（
n=o！
A. sin T B.
C. ex D.
4.已知:CoC M ,b）是函数/XQ在（a 0）内的最大值点，则（ ）・
A. 0 B. fGQW。
D. V z £ (a 0),有 y(:c)Wr(工0)
5.设W&）=厂/ —危，则収&）是（ ）.
A.有界函数 B.周期函数
C.奇函数 D.偶函数
得分|评卷人
二、填空题（每小题4分，共20分）
6.集合A = {a,b.c},R是A上的等价关系，且A/R = {{a9b},枇}},则R =
7•设 I 5 1 = 1 之2 丨=1,贝！1 i~—— =・
1 — ZiZ2
8.（2h + sin7 x） dx = .
J 0
9.设ai,a2,a3均为正数，则其几何平均与算术平均的不等式为 .
dv
10.已知x2 + y2 =8,则在点（2,2）处厂= .
ax
得分评卷人
三、计算题（每小题15分，共30分）
1 JC
11.已知 _/（——1）=——，求 r（z+l）.
x M — 1
12.求a的值，使得函数/（X）=a/1+x2 —ax.在（―oo, +oo）内单调减少.
得分评卷人 四、证明题（每小题15分，共30分）
13.函数定义在［0,+8）上且连续，证明_/&）在［。，+8）上有界
Z-*+8
14.证明，当工丰3时有日伝+少＜ y（ex +en.
试卷代号:1087
国家开放大学（中央广播电视大学）2016年秋季学期“开放本科”期末考试
数学分析专题研究试题答案及评分标准（半开卷）
（供参考）
2017年1月
一、单项选择题（每小题4分，共20分）
二、填空题（毎小题4分，共20分）
6.
7.1
! 1
9. («2](22)23)3 ^—(ai+a2+a3)
10. -1
三、计算题（每小题15分，共30分）
和+工）=1_（1+» Z
, . _ -J*
12.解：已知f(x )=丿1 + / — ax，则f (工)=, —— —a 5分
设乎(工)=二二二，求甲& )的最大值・
. 11 3 1 3 1
中 Cz) = — X (1 + – 2x — (1 ——工2(1 +工2)~玄= 〉0
/!+?■ 2 (1+上2岸
中（工）严格单调增长,
故有归&） V lim甲& ） = 1 分
X-*+oo
当a 1时,广（工）=甲（工）一a V 1 — a M（）• _f （工）单调减少. 15分
四、证明题（每小题15分，共30分）
13.证明：已知fix）在[0, +8）上连续，且-1.
则对于 e = j>0,存在 X>0,当 时
] 3
即当工2X时，|<（工）|/1 +万=万;
在[0,X]±,S/（^）在其上连续，故有界，即存在MQ0,当工£[0,X]时，
3
选取 M=Mi + ~.则对 E0, + co），有 IfG） IWM.
故/’（工）在[0,4-co）上有界. 15分
14.证明：设<（力）=e\则f（x）=b >0,即ya>是严格下凸函数. 8分
由下凸函数的性质有：
JC -|— V 1 ]
也 1 1
即 e z < ye” + 万b
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