试卷代号:1087
国家开放大学（中央广播电视大学）2016年春季学期“开放本科”期末考试
数学分析专题研究 试题（半开卷）
2016年7月
题号 一 二 三1四 总分
分数 T…
1.r是集合A中的元素，则表示为（ ）
R {a}eA
C. a(ZA
2-设则存在S＞0,当。〈眞一工NVS时，有（ ）・
4.^（x）=sin xcosx是以（ ）为最小正周期的周期函数.
B. 7T
5.f{x’） = x\nx 在（0,+8）内是（ ）.
B.下凸函数
D.有界函数
得分评卷人
二、填空题（毎小题4分，共20分）
6.J sin3 x cos4 h drr = .
7.y =-/x + 1 在点 x =1 的微分 dy = .
1 3
8.已知x > 0,则（工）=yx3 ~i 的最小值是 .
9.设E U R（R为实数集），称E是E的聚点当且仅当E的任一邻域U（£,8）内
无穷多个点.
10.已知 A={a,b,c},则 A 的辯集 2A = .
得分评卷人 三、计算题（每小题15分，共30分）
11.已知 2/（x） +/（-） 求 f（H）.
jC
jr V y
12.求椭球—+ 77 H— M 1的体积卩・也> 0 > 0 ,c〉0） a1 b* cz
得灯评卷人-
四、证明题〔每小题15分，共30分）
13.设已 Xf 匕则VAUX有々=广是单射，
14.证明/XQ =x2sin X不是周期函数•
试卷代号：1087
国家开放大学（中央广播电视大学）2016年春季学期“开放本科”期末考试
数学分析专题研究试题答案及评分标准（半开卷）
（供参考）
2016年7月
一、单项选择题（每小题4分，共20分）
二、填空题（毎小题4分决20分）
6. 0
8. 2
9.含有E中
10* , {a )){6} T {c), (<2 ,6} Ua 5c), (£> ,c), {<2 ,6 ) 三、计算题（每小题15分，共30分）
11.解：已知2/（^） +須（?）=工
用扌代替工得
由①得
/(—) =x — 2/(x) x
由②及③得
15分
12.解：由于椭球关于工Oy平面对称,故该椭球体积V是该椭球在工。丿平面上部体积的
2倍，任取一点z£(0,c),过点(0,0,z)作垂直于z轴的平面，其截口为一椭圆面，椭圆方程为
其椭圆面积为S⑴
故 V = 2j：S(z)dz=^J：(c2 — z2)dz
四、证明题(每小题15分，共30分)
13.证明；〜)已知f : XfY,且AUX.
VaEA.W /(a)e/(A).即 故 AC/1 (/(A)).
另一方面，设 广’V(A)).即/(a)e/(A).
由于須是单射，故即yT(y(A)〉UA,从而有/-l(/(A))=A. 9分
假设f不是单射，故存在,<2z € X,ai a2 ,/(ai)=/(a2),选取A = {aj ,则
/’■(/(A)) ZD {aj,a2}^A.故/■是单射. 15 分
14.证明:假设六工)=工气队工是周期函数，则存在T>0是/U)的周期.由于須&) 是(一8,+8)上的连续函数，即是［0,T］上的连续函数.从而存在M> 0,Vx e EO,T］, 有|/(x) !<M.由假设是周期函数，从而Vx € (—8,+8),有|/(x) |<M. 10分
另一方面，选取+ ：,则
= (2«tt +y)2sin(27iff + y) m (2e +
lim/(xn) = + oo这与l/Xx) If Af矛盾，故須怂)不是周期函数. 15分
Hf 8
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