试卷代号：1087
国家开放大学（中央广播电视大学）2015年春季学期“开放本科”期末考试
数学分析专题研究 试题（半开卷）
2015年7月
题号 一 二 三 四 总分
分数
得分评卷人
二、填空题(每小题4分。共20分)
6.R是集合X上的关系，称R是对称的是指 .
7.lim/(x)^/(x0)当且仅当存在 €0>0, f Q
8.函数/(x)=x[ J sin5 j: cos4xdx =( )
A. 1 B. -1
C. 0 D. oo
3.设lim/(x)=/(x0),则存在 S>0,当 z 6 (女 一8,了o+S)时，有( )
A. /(x0) 一 1 < /(x) < /(x0) + 1 B. /(x) < /(x0)
C. /(x) > /(xo) D. /(x) =/(x0)
4.已知(工)在点a可导，则lim见/(a ) — f(a + —)]=( )
n-*ao 72 Ti
B. -2/(a)
D. — /(a)
5.已知z。E （a，们是函数八工）的最大值点，则（ ）
A. f* 1 2 （x0） =0 B. f （x0） 0]在点(-1,1)的法线方程是 .
9.(cos 专+ lsin 贡)= .
10.A 是一实数集，且 suPA = l,则 inf(-A)= .
得分评卷人 三、计算题(每小题15分，共30分)
11.求垂直于直线2x+4j-3 = 0并与双曲线蔘一¥ = 1相切的直线方程.
12.求下列定积分
①£(3×2 -2x + Ddx
②£ K
③j 了2 +]3 &
得分评卷人 四、证明题(每小题15分，共30分)
13.若 x>0,则 x— Jr?<Jn(l+z) Vz
14.证明/(x) = sin +不是周期函数.
试卷代号：1087
国家开放大学（中央广播电视大学）2015年春季学期“开放本科”期末考试
数学分析专题研究试题答案及评分标准（半开卷）
（供参考）
2015年7月
一、单项选择题（每小题4分，共20分）
二、填空题（每小题4分，共20分）
6. V 工,，£ X,若 xRy,贝!] yRjc
7. V f>0,存在孔，使得 I 石一五 | V3, | /(xa)-/(xo)| >£o
9.i
10.-1 三、计算题（每小题15分，共30分）
11.解：已知直线2z + 4）— 3 =0的斜率是一 $,故所求直线斜率为2.
求双曲线上的点&,丁）的切线斜率。由方程求导数，得
y2x — -y2y. y =0.
故切点坐标满足〈
=4、.
解得切点分别为A（4,7）,B（—4,—7）,故切线方程为
y — 7 =2(x — 4)与、+ 7=2(工 + 4).
12.解：
②j -^-dr = Inx J = 1. （10 分）
③J 衣-/I 4-x3 dx = § j』\ + 站 d（l + x3）
=y. J （1 +宀4 =音［2* – 11 （15 分）
四、证明题(每小题15分，共30分)
13.证明：先证明，若x>0,有ln(l+x) <x
事实上，ln(l + x) =ln(l +x) — Ini
= ]].•♦ V 其中 $ G (0,x). (5 分)
次证 若 x > 0,有]—v ln(l +1)
设 /(x) =ln(l+x) 一 Gr — jx2),有 /(0) =0, (10 分)
/(“)=——(1-x)
1 + X
当Z £ (0,1),有厂丄F>1,即 £一>1一公即，(z)>0.
1 — X 1 十 Z
当显然有/(X)>0.
故 fCx) > /(0) =0 即 ln(l + x) > x — x2. (15 分)
14.证明：若f(i)在(a, + 00)是严格单调函数，则/(x)显然不是周期函数. (5分)
在(2,+oo)内①=丄6(0,夺)是严格单调减少函数(8分Lsiny在(0,著)是严格增加 7C X L 6
函数，故复合函数，Cz)=sin丄在(2,+8)是严格单调减少函数，(12分)故尸&) =sin丄不 X 7T X
是周期函数. (15分)
一、单项选择题（每小题4分，共20分）
1. 已知 /(x) = 2 (-I)— +了”，则，&)=( )
A. sinz B. cosx
C. ex D. Inx
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