试卷代号：1087
国家开放大学（中央广播电视大学）2014年秋季学期“开放本科”期末考试
数学分析专题研究 试题（半开卷）
2015年1月
题号 — 二 三 四 总分
分数
得分评卷人
一、单项选择题（每小题4分，共20分）
1.已知/(工)=3；
n= 0
A. sirtr 1）”（2：）!-宀则.馅）-（）
B. cos#
C. eJ D, Inz
2. cos\zdj;—( J 0
A. 1 )
B. -1
C. 0 D. co
3.设lima” = a,limb”=们且 an > b„ )
n -8 n-*oo
島 a > b B. £2 N 5
C, a <Z b D. a. M b
4.设 fCx)在点 R 可导，贝!jlim72[/(ez + 扌)一/(◎)] = ( )
n -*■ 8 Z
A. / (a) B. 2/(a)
C.“(a) D. /”?)
5 .若函数=f（x）在（—GO, + co）上严格单调减少，则/（”）在（一 8, + 8）上（ ）
A.有上界 B.无下界
C.连续 D.有反函数
彳耳 冲卷A
二 二、填空题（每小题4分，共20分）
6.若关系R是反身的，对称的且传递的，则称R是 .
7.lim/（x） =/（x0）当且仅当 Vs > 0, 35> 0 ■if。
8.函数/（X）=工2在点p（］,］）的法线方程是
9.e*7 = + zsin0.
10.已知/（£）连续，则4- C/（5）d5=
dZ J 0
得分评卷人 三、计算题（每小题15分，共30分）
r2 v2 2
11.求椭球p + + 的体积.
a b c
12.已知：对于工〉0,有
^Lr-）==lnrlb’求
14,映射f-.X^Y是单射当且仅当对于任意的人，BUX,有
/（AnB）=/（A）n/’（B）.
试卷代号：1087
国家开放大学（中央广播电视大学）2014年秋季学期“开放本科”期末考试
数学分析专题研究试题答案及评分标准（半开卷）
（供参考）
2015年1月
一、单项选择题（每小题4分，共20分）
/ 一 1 9
于是 /（0 – In——匸—- （12 分）
1 + 2 —V 1十 1
I ― 1
9
即f（x） =ln 一工〒 （15分）
x十1
四、证明题（每小题15分，共30分）
13.证明：/（.r） =sin.r在闭区间[0,^J±连续，在开区间（0,矿）内可导（5分），由拉格朗日 中值定理，存在心<fi < q及-r2 < & < ay,使得
sirur — sin.Z]
==CO5& ,
H 2 — % !
因COSX在（0’7T）内严格单调减少‘故COS$1 > cos$2 ,即
sinx2 — smxi sinj?3 — sinx2
“ (io yr)
^■2 —工1 对—卫2
14.证明：先证，已知/：X-Y是单射，有J\A n B) =/(A) n /(B).
①人 n Be： A,故 /(A n B) C： f(A),同理 f(A n B) U /(B),
所以 /(人 n B) U /(A) n /'(B). (4 分)
②v>- e f(A)n y(B),则,y e z(a)且;y e /<b).存在工】g a cz x,使 /(工。=乂 同 理，存在G B d X,使/(心)=y.由于/是单射，故心=工2・
即存在工(工=乃=工2) 6 A Q B,使y = /(工)，.財6 /(A p| B),
从而有 /(A) n /(B) CZ fCA n B). (8 分)
结合①与②，有 /(A) n /(B) – /(A n B). (10 分)
再证，已知f(A) n f(B) = f(A n 3)，有/：X f y是单射.
事实上，V 心，.7：z G X, a” x2 ,设人={a：i } ,B^={x2}，则人 n B = 0.
/( {心})n /({x?})=/( {工1} n {x2})==/(0)=0,
故 /(JC| ) 7^ /'(.7’2),/是单射, (15 分)
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