试卷代号：1087
国家开放大学(中央广播电视大学)2014年春季学期“开放本科”期末考试
数学分析专题研究 试题(半开卷)
2014年7月
题号 —’ 三 四 总分
分数
6.R是集合X上的关系，称R是反身的是指 .
7.lim%尹a当且仅当存在e0>Ot .
8.函数在点（-1,1）的切线方程是 .
9・（cos 言-y） =・
10.y = f{x）在点五可导，则其微分dy = .
皇 生一一些三、计算题（毎小题15分，共30分）
11.求顶点在坐标原点的锥面# +普一菱=°与平面% = b所围成的锥体的体积V.
12.已知工,y 满足/一2了 + 720,4工一3了一12《0口 + 2夕一320.求 fkx,y^=^^yz 的 最大值.
纟塑’ 四、证明题（每小题15分，共30分）
13.若 则工一!护 VsinxVx
O
14.设A,B,C是三角形三内角，则
试卷代号：1087
国家开放大学（中央广播电视大学）2014年春季学期“开放本科”期末考试
数学分析专题研究试题答案及评分标准（半开卷）
（供参考）
2014年7月
一、单项选择题（毎小题4分，共20分）
故 max/(x,y) = max {/(A),/(B),/(C)}
=/”（A） = 9, + 8’= 145. （15 分）
四、证明题（毎小题15分，共30分）
13.证明：先证:若JT > Or有sjlLZ < X-
设 /（x） =x — siaz,有 /（0） =0.对于 0 < 工 < 2?r,有
f （工）=1 — cosx > 0,有 /（x） > /（0） —0,即 siaz < m. （5 分）
对于工> 2引显然有sinx < x. （7分）
再证，若x > 0,有x 一丄‘ < sinx.
0
设甲（工）=siaz — x + ，有 *0）=0. （10 分）
妒（工）=cosx — 1 + ，且甲’（0） =0. （12 分）
矿（工）=工—sinr > 0,从而有 矿（J?） >矿（0） = 0.
故甲S） >甲（0） =0即工 工3 < sinj：. （15分）
14.证明*设/’（工）=$小上,则六工）是（0,2的上凸函数.（3分）由上凸函数的定义,对任意 的 ai td3 £ (0,1) ,ai + a? + a3 = 1,工},为,A £ (0,X),有
f(ai4 +a2“2 +013X3) +a2_/”(工2) +a3/(x3).
取 ai =<12 =a3 =§，工］=A,j:2 =B，工3 =C,f(j：) = sinx,
则有
~sinA + §sinB + ^nC < sin 厶 + f
3 3 3 3
• K 姬
=sm 亏=2′
（15 分）
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