试卷代号:1087 座位号|~丨|
中央广播电视大学2013-2014学年度第一学期“开放本科”期末考试（半开卷）
数学分析专题研究试题
2014年1月
题号 一 二 三 四 总分
分数
碍…3 评卷人 一、单项选择题（每小题4分，共20分）
1.已知_/■(*)=言(一1)1 宙与厂£宀，则/(£)=( )
A. sinx B. cosx
C. ex D. Inx
2.J sin3 cos2xdx =( )
A. 1 B. — 1
C. 0 D. oo
3.设linuzn — a,lim6n =们且q〉们则存在自然数N,当n> N时，有( )
oo nf so
A. a„ > bn B. bn > an
C. an =bn D・ b„ 2 J
4. 已知 在点 a 可导，则 lim 况/'(a + -)-/(a)]=( )
n—*oc Tt
A. f(a) B. 2/(a)
C. |/(a)
5.若函数）=_/■（*）在（-oo, +ao）上严格单调增加，则 心 在（一8, +8）上（ ）
A.有上界 B.无上界
C.连续 D.有反函数
6.关系R是等价关系当且仅当关系R是反身的、
7.lima” =a当且仅当Ve > 0,存在自然数N, ” f+oo
8.函数=x2在点（1,1）的切线方程是
9.= cosd + .
10.已知 F’（t） =/（<）,则.
得分评卷人 三、计算题（每小题15分，共30分）
11.求椭圆曲线号+縁=1所围成区域的面积S.
a b
12.对于乂0,工乂 1有
f（工）+ f（三三）=1 +办
X.
求 /（X）.
得分评卷人 四、证明题（每小题15分，共30分）
13.证明：方程z — 2sirvc = <2（a>0）至少有一正实根.
14.证明：函数/’（z）=zsin_r不是周期函数.
试卷代号：1087
中央广播电视大学2013-2014学年度第一学期“开放本科”期末考试（半开卷）
数学分析专题研究试题答案及评分标准
（供参考）
2014年1月
一、单项选择题（每小题4分，共20分）
1. A 2. C 3. A 4. B 5. D
二、填空题（每小题4分，共20分）
6.对称的且传递的
7.当 n>N 时，有 | a„~a | <e
8.y~2x—1
9.isin^
10.F(t)+C
三、计算题（每小题15分，共30分）
11.解：设所求面积为S,由于图形关于z轴对称，关于丿轴对称，故面积是第1象限面积的 4倍
S = 4 [ — \/a1 — X1 d;r, J 0 a
设 jc =asinZ,dr = acostdt, (10 分)于是有
S = 4 — [2 a2 cos2 tdt
a J o
「专 1 步
=2ob (1 + cos2^)d^ = 2ab (^ + — sin2^) = nab,
J 0 / 0
12.解：以兰二^代换工，由方程得
X
以=1)+ 六日__)=奖二2. (1)
X 1 — X X
以厂L代换工，得
1 — X
/(^―) +/(^) (2)
1 — X 1 — X (10 分)
由方程、（1）式和（2）式消去八七呈），/（^―），得
X 1 — 3C
“、_ 工，—工2 _ ］
2g —I），
四、证明题（每小题15分，共30分） (15 分)
13.证明：设
f （工）=x — 2sinr — a,
则 S 是［Og + 3］上的连续函数. （5分）且
/(0) — — a, f(a + 3) = <z + 3 — 2sin(a + 3) — a 3 一 2 — 1,
即fCO) – f(a + 3)<0,根据分值定理，存在五€ (。,” + 3),使 5)=。， (10 分)
即方程工—2sinx =a至少有一正解.
14.证明：釆用反证法，假设/（x） =zsinz是周期函数，T是一个周期.（3分） （15 分）
因是闭区间［ST］上的连续函数，故存在M>0,使得Vx 6 ［0，丁］，有lf&）l
WM.
V £ （― 00, + CQ），存在整数奴工0 € ［。，丁］，使得 (5分)
工1 =工（）+ kT.
从而有 I ）丨=丨 /（^0 + &丁）丨=丨 /（Xo）|<M. (8分)
(10 分)
选取3Ck =ZkK +分，从而有
f{jck) — ~xk,
当 k f + oo时 9f(xk) f + oo,与 | | W M 矛盾. (12 分)
(15 分)
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