试卷代号：1087 座位号匚口
中央广播电视大学2012-2013学年度第二学期“开放本科”期末考试（半开卷）
数学分析专题研究试题
2013年7月
题号 一 二 三 四 总分
分数
4./(x)=x在11上( )凸函数.
A.不是
B.只是上
C.只是下
D.是既上凸又下凸的
5.设 j x2 sinxcosjcir =0»则。=( ).
A.—号 B. 0
C. $ D. 1
得分评卷人
二、填空题(每小题4分，共20分)
6.若函数/(x)在点a可导，则lim丄S + 2Q二/(a + z)=
J!-*0 t
7.设/&)为官0］上的连续函数，积分中值定理的结论是
8.设 f：X^Y是 ，则 f：P(X) f P(Y)是满射.
9.设有映射 f：A – B,g：Bf C,且(g。/)(A) =C,则 g(B)=
10.曲线在其上点P(2,8)处的法线方程是
11.求双曲线］一些=1上一点PG”，m）处的切线方程.
a d
12.求 j x1 -J\ — x2 dx.
得分评卷人
四、证明题（每小题15分，共30分）
13. 证明：映射是单射当且仅当对于X的任一子集A有/ ‘（/（A））=A.
14.证明；圆内接n边形中正”边形的面积最大.
试卷代号：1087
中央广播电视大学2012-2013学年度第二学期“开放本科”期末考试（半开卷）
数学分析专题研究试题答案及评分标准
（供参考）
2013年7月
一、 单项选择题（每小题4分，共20分）
I.C 2. D 3. A 4.D 5. D
二、 填空题（每小题4分，共20分）
6./（a）
7.存在一点 c E 使］/（x）dx = a）
8-满射
9.C
m 1 丄 49
】°U = 一也h +百
三、 计算题（每小题15分，共30分）
II.解：首先求过点P（工。，外）的切线斜率，由双曲线方程,我们得
斧一斜，,=。 （5分）
由此解得=空，故在点P伝。，外）处的切线斜率为=空丄于是有 （10分）
a y a y0
> =丸+心一女）=弘+钧（工一色），整理得捋一礬=节一普，
a y0 a b a b
即若一贺=1 （15分）
12.解：令 X = sin£,则 di=cos£dz （4 分）
从而有 J X2 \/1— xz dx
= sin2 icos2 tdz （8 分）
—严山 （12 分）
=-yj2 （1 — cos4t）d£
=§（£一*讪）『Y （15 分）
四、证明题（每小题15分，共30分）
13. 证明：先证必要性,AU广’（/（A））是显然的. （3分） 证相反的包含关系.
Va 6 尸（Y（A））有 /（a） 6 /（A）,因，是单射，故 a 6 A
即广CZ A, （7 分）
综上得人=广飞八A）） （9分）
再证充分性，釆用反证法，假设，不是单射.则存在心，叫6 X,a1尹⑶，使/（aQ=/（s）, 选取 A = {a。，则广’（/（A）） Z） {%,%} （12 分）
即厂（_/XA））夭A,这与已知条件矛盾.故f是单射. （15分）
14.证明：设圆的半径为r,其内接〃边形的面积为A“，各边所对的圆心角分别为仇，但，…， 则有
An =3″/（sin0[ + sin/ + …+ sin/） （5 分）
Qi E （0,汗），且f（i） =sinz是（On）上的上凸函数，由上凸函数的性质有
—[sin。】+ sin^2 + …+ sin。.]
n
W sin 丄（8】+。2 + …+。”）= sin — （10 分）
_ n J n
故有 A” < 〃 ?，sin — A SB
Z n
注意到jr2sin亨是圆内接正n边形中一个三角形（两条半径与一条边构成）的面积,S” 是正”边形的面积，故正n边形面积最大. （15分）
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