中央广播电视大学2012-2013学年度第一学期“开放本科”期末考试（半开卷）
数学分析专题研究试题
2013年1月
碍 分 评巻人 一、单项选择题（每小题4分，共20分）
1 .已知 = y? £—工”，则 f (工)=( ).
n=o n •
A. siaz
B.cosx
C. Inx
D. ex
2.已知
a,a>0,则存在S>0,当0V 0一孔|VS时，有（ ）.
A. /(x) > a
B. /(x) < a
c. /(x) > -|
D. /(x) < |
3.设函数八工）在［a,如上连续，则f（t）dt在区间伝,少内（ ）.
A.连续但不可导
B.可导
C.存在二阶导数
D.间断
^°sin 丄，x Q
X 在C-l,l]±的导函数f(z)
0,
有界，则（ ）.
A.a < 0
5.已知 I cos2a:sinxdz=0,则 a =( ).
A.O
Db — TT
6,函数/（x）在点a可导，则lim 丝2二£@ = .
10 t
7.已知>=zrz-x,则它在点”=1处的微分dy= .
8.当f（x）满足条件 时，有
= 2 f f (rc)dr.
i J o
10.若一个集合 ，称该集合为有
限集.
得分评卷人
三、计算题(每小题15分，共30分)
11.求顶点在坐标原点的锥面斧+若一 W =0与平面M=C所围成的锥体的体积V.
12.问a为何值时，函数f(x) =a/1 + a：2 — ax在(—oo, + oo)内单调减少？
得-分评卷人
四、证明题(每小题15分，共30分)
13.证明：若•！ > 0,则工 x3 < sirtr < x.
6
14.设A,B,C是某三角形的三个内角，求证sin • sin | • sin | < j.
试卷代号：1087
中央广播电视大学2012-2013学年度第一学期“开放本科”期末考试（半开卷）
数学分析专题研究试题答案及评分标准
（供参考）
2013年1月
一、单项选择题（每小題4分，共20分）
l.D 2.C 3.B 4.D 5.B
、填空题（毎小題4分‘共20分）
6.2/^ （a）
7.dr
8.Vx G [—1,1],有 /(—x) = /(x)
9’单射
10.不能与其任一真子集建立双射
三、计算题（每小题15分，共30分）
1L解：V黑G （0,c）,过点（0,0t）作垂直于n轴的平面，截面为椭圆，其边界方程为
(7分)
此椭圆面积S(z) — nabz2 -y, c
故所求体积
V — f S(z)dz; = f z2dz = ~-nabc J o c Jo 3
12.解:求函数f(z)的导数得
X(x) =(1 + j；2)^x —a (5 分)
令¥>(x)=(1+x2Hx，T面我们考察？(z)的取值情况，为此，求甲&)的导数
妒(Z)= (1 +z、d —• (1 +工2)—| •工2 = (L+工 Z )-* (10 分)
由此可见，Vx € 8, +8),有妒Gt) > 0,即”单调增加，考虑到
=lim —— = 1
宀8丿1 +/
故当段21时，对任意的H e (—8,+8)有/(X)<0,即fG)单调减少.
(15 分) 四、证明题(每小题15分，共30分)
13* 证明：设 /(x) ~x x3 珅(工)=sinx,/i(x)=工，显然有 /(0)=甲(。)=九(0)
(5分) 且 =1 一 -|-x2，妒(工)=cosx,/iz(x) =1,即当 x > 0 时妒(z) M 妃(工)，等号仅当 x=2kK 9k为正整数时成立為从而有中(攵)< hG) (8分)
再来比较 /z(x)与妒&)的大小(0)=妒(0) =l,/z(x) = _h 郞3) ~ — sinx
■ (10 分)
利用已经证明的sinx V工得尸G) < /(x)危卩得当尤> 0时/(x) <妒Cr) (12分) 进而得到当x>0时/(x) < <p(x) (14分)
总之有/(x) <甲(工)< h(x)，故有
x x3 V sinx <C x (15 分)
6
14,证明言设/(x) =sinx,则/(x)是(0,兀)内的上凸函数，Vxi ,x2 ?x3 £ (Om),
Vai 902»as G (O,l)sai +«2 +a3 ― 1 有
ai/(^i)+az/(^2)+a3/<^3)W /Mi功 +a2x2 +a3^s) (5 分)
，则有
■y(sin * + sin 3 + sin 号)W sin[^-(y + 号 + 旨)]=詩殺言=§ (10 分)
因sin 3 > O,sim |>O,sin^> 0,利用几何平均与算术平均的不等式.有
r . A . B . Cqi 1 r ■ A,. B . . Cn^l
Lsm . sm — • sm —J W —Lsin — + sm — + sm —J W v
Z Z Z 3 Z L L L
，总之，有 sin y • sin y • sin y C ~g~ (15 分)
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