试卷代号：1087 座位号匚口
中央广播电视大学2011-2012学年度第一学期“开放本科”期末考试（半开卷）
数学分析专题研究试题
2012年1月
题号 一 二 三 四 总分
分数
1.已知須（工）=£（― 1）”湍厂工气则_/&）=（）.
A. sinx B. cos工
C. ex D. In
2.数列｛a”｝收敛于a,且 a<0,则存在自然数N,当n>N时，有（ ）・
A. a„ > a B. a„ < a
Da” V 言
A.连续但不可导
D导函数连续
4.已知j cos3xdx = 0,则 a =( ).
A. 1 B-f
C. it D. -|-n-
5.映射_/：Xf y,对于vv> uy,当_/是( )时，有B=_/(厂(匕)).
A,连续映射 B.不连续映射
C.单射 D.满射
得分评卷人
二、填空题(毎小题4分，共20分)
6.若函数_/&)在点a可导，则lim r(a_q_f(a) =
a—0 n
7.曲线+4在其上点F(l,5)处的法线方程是
8.设函数/(x)在［a,切上连续，在(a0)内可导，则拉格朗日中值定理的结论为
9.设⑶，az ,a3均为正数，则关于其几何平均与算术平均的不等式为
10.J2 sin3xdx = .
徂 4V 畀务X
三、计算题（每小题15分，共30分）
11.求极限lim .
x~*0 JC
2 2
12.求椭圆号+若=1所围成的图形的面积.
a b
得分评卷人
四、证明题（每小题15分，共30分）
13. 设工五是两个无理数，且工I〈工2,证明：在区间&1，工2）内至少有一个无理数.
14.设工＞0,丿〉0,工丰:y,求证：（工+ J”） In吃寺旦＜ x\nx + y\ny.
试卷代号：1087
中央广播电视大学2011-2012学年度第一学期“开放本科”期末考试（半开卷）
数学分析专题研究试题答案及评分标准
（供参考）
2012年1月
一、单项选择题（每小题4分，共20分）
二、填空题（每小题4分，共20分）
6.- /(a)
7.丁 = 5 + ( )(x — 1) — — ~x + ~
8.至少存在一点 c £ (a,b)，使得 f(b) 一 f(a) = / (c) (b – a)
三、计算题（每小题15分，共30分）
11.解：设武—l=y,x =loga(l +
则風守=域屁/F =域log.（1QT
(10 分)
— = Ina log.e
(15 分)
12.解:设所求的面积为S,由于图形关于z轴对称，且关于丿轴对称，故其面积S是第一象
限面积的4倍
(5分)
因而
S = 4 T ——Jr? cLr
J o a
（8分）
设 x =asinZ cLr =acostdt
(10 分)
于是有
S = 4 2「^2 cos2gdg = 2泌「（1 + cos2*）ck = 2泌（£ + #sin2Q =abn （15 分）
a J o J o Z o
四、证明题（每小题15分，共30分）
13 .证明：令
^3 =y（xi +x2） （5 分）
显然有Ki V无V x2
若a是无理数即得证 （7分）
若壬3是有理数，令0 +运3） （12分）
则0 <x4 <^3 <^2S由门是无理数口 3是有理数,得知百是无理数. （15分）
14.证明：设 /（^） =xlnx （5 分）
对尸&）求二阶导数
f （工）—Inx + 1,/’怂）=丄〉0,x >0,
x
故fCx）是（0,+oo）内的严格下凸函数， （10分）
由下凸函数定义有
1111
f^~2x + 云源）V y/（x） + -y/Cy）
即 & + y）ln（三专旦）V zlnz + yin財 （15 分）
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