试卷代号：1087
中央广播电视大学2009-2010学年度第二学期“开放本科”期末考试（半开卷）
数学分析专题研究试题
1 ?
1.设 a】 )，”=1,2…，则lim a„ =
l ar l8 ‘ —
2.设 A= {4 I n=l,2, —J ,则 inf A = .
3.设fCr)=*，则六/在(0,1)内是 界函数.
4. 曲线x[ 证明：对于 z>0,有 ln（l+x）<x.] [ 证明：设A,B,C为三角形三内角，则
sin A+sin B+sin CM言’]+^ = 1在其上一点（他，％）处的切线方程是 .
5.若 Va€ （0,1），工,丁£（如3）有
f&）是（a,5）上的下凸函数.
碍 分 评卷人 三、计算题（每小题15分，共30分）
1.已知工，丁满足下列不等式
J：—2y+7^0, 4工一3y—12W。，工+2y—32。 求f{x,y}=x2+y2的最大值.
2.求椭球芹+ = + 了員1的体积.
试卷代号：1087
中央广播电视大学2009-2010学年度第二学期“开放本科”期末考试(半开卷)
数学分析专题研究试题答案及评分标准
(供参考)
2010年7月
_、单项选择题(毎题4分，共20分)
1.A 2.D 3.C 4.B 5. C
二、 填空题(毎题4分，共20分)
，晅
2.0
3.无
^.xox-\-yQy=l
5./(ax+(l—a)y)^a/(x) + (l—a)/(y)
三、 计算题(毎题15分，共30分)
1.解：约束条件构成愆，丁)的区域为以A(9,8),B( — 2,^),C(3,O)为顶点的
三角形区域S. (5分)
我们来证明fCx.y)是S上的下凸函数，对于任意的与肱(也仍)有
，3>Z)A(J71 ,^i) =2(M+展)N。
.冗
即六*,少是S上的下凸函数. (10分)
由下凸函数的性质知
max{/(j7,3,)I (工,))£$} =max{/(A) ,/(B) ,/(C) }
= /(A)=/(9,8) = 145 (15 分)
2.解：由于该椭球关于 平面对称，故该椭球的体积V是该椭球在工。夕平面上部体积
的2倍，任取一点z£(0,c),过点(0,0,纟)做垂直于z轴的平面，其截口为椭圆面•
—H 4(c2T) （5分）
第 c2T)
cc
其截口椭圆的面积
5(Z)=71 ~(C2-Zz) (8分)
故体积V为
V = 2f s(z)&=2呼* f (c2—zz)dz
J 0c Jo
= %2jtab ^z~iz3]\\=Jnabc （15 分）
四、证明题（每题15分，共30分）
L证明：对于函数/（t）=lnz,以及工＞0,在区间[l,l+x]±/（O连续，且在（1,1+工）内
六£）可导. （5分）
根据拉格朗日中值定理，有
（10 分）
因 f (Q = +，1V£V1+工,故 f (QE(0,l)且六1) = 0,故
ln(l+^) = /(l+x) = /(l+x)-/(l) = /($)x<x (15 分)
2.证明：设 /(x) = sinx,/(工)=—sin 工，当工£ (O,?r)时，f (j?)<0 故 /(x)=sin 工在(0, 兀)内是上凸函数，(5分)由上凸函数的定义，对于Xi ,x2 £ (0,tt) »a2 ,a3 6 (0,1) ,且釦+
a2+<Z3 = 1,有 /(^E1) +tf2/(^2)+a3/(x3)^/(ai+a£jr2+a3x3)
取 xl=A,x2=B,xi=C,ai =a(2=a3 =§，则
~ [sin A + sin B + sin C] Vsin
O O
_ – TT _V3″
—闵11耳—-2
即 sin A + sin B+sin CV万把
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