试卷代号：1087 座位号 m
中央广播电视大学2009-2010学年度第一学期“开放本科”期末考试（半开卷）
数学分析专题研究试题
2010年1月
题号 一 二 三 四 总分
分数
1. 设 VACZX,则有( ).
A.
C. A=/-1(/(A))
2.A — {a fb} f 则 2* = ( ).
A. {0 ,{a} ,{b} ,{a,b}}
C. {{a},{b},{a,b}}
3.已知函数y = f（x）在R内可导，且l/WKl,则在R内（
A.有界
C.间断
4. 设a是超越数，则亦是（ ）.
A.有理数
C.超越数
8 1
5.5= ” （一1）” 宓函工”,是（
A.正弦函数
C.指数函数
得分评卷人
二、填空题（每小题4分，共20分）
1.设（X,V）是全序集，若对任意的a,b@ X,都存在X,使a<c<b,则称X是
2.设R为X中的关系，若R是反身的、对称的、传递的，则称关系R是 .
3.设EUR（R为实数集），称£是E的聚点当且仅当£的任一邻域U（£,S）内
4.积分中值定理是说:若函数在闭区间［a,切上连续，则在［a,祠内至少存在一点c,
使 : .
5.函数六”定义在区间（a,3）内，若Vs,五E（aM）,Va£（0,l）,有 ，则称八工）是区间（a,3）内的上凸函 数.
得分评卷人
三、计算题（每小题15分，共30分）
1.设丨五丨=1,求F匸初.
1 —处％
2.求一函数其函数曲线过点（0,1）且该曲线上每点切线的斜率是该点横坐标的4倍.
得分评卷人
四、证明题（每小题15分，共30分）
中央广播电视大学2009-2010学年度第一学期“开放本科”期末考试(半开卷)
数学分析专题研究试题答案及评分标准
(供参考)
2010年1月
一、单项选择题(每小题4分，共20分)
1. B 2. A 3. D 4. C 5. B
二、 填空题(每小题4分，共20分)
1.稠密集
2.等价关系
3.必含有E中无穷多个点
4.J f(x’)dr = f(c)(b—a)
5.fkaxi + ( 1 —a)zz)2ay(工1 ) + (1—oO/Xm)
三、 计算题(每小题15分，共30分)
1.解：注意到z • z=|z|2,故有
Z1 | Z1 I
10分
15分
2.解：设该函数为y = fCx),则
/■'(•r) =4z
由此得
fdx) = 2×2+C
因曲线过点(0,1)故1 =/(0),由此得C=1即
12分
f(x) = 2×2 +1.
15分一
四、证明题（每小题15分，共30分）
1.证明：先证必要性,AC/”1（/（A））是显然的.（3分）
故证相反的包含关系.VaE广’（六厶））故 /U）e/（A）因r是单射，故
即 广】（六厶））UA. 7分
综上得A = r1（/（A）） 9分
再证充分性，采用反证法，假设/■不是单射.则存在a.sEXgj尹饥，使fg=g）, 选取 A=0},则厂 i（y（A））D{ai，a2} 12 分
即广X六A））关厶,这与已知条件矛盾.故/■是单射. 15分
2.证明：因为/■（Qnsint在R上连续且可导，由拉格朗日中值定理
| sinz—siny | = | （siiV）’| • | x~y\ 10 分
—| cosc| • I x—y I
d*—刃 15分
1. 映射是单射当且仅当对于X的任一子集A </-1 2（/（A））=A
2. 对任意的证明不等式I sinx —sin> | < \ x~ y |.
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