试卷代号：1087 座位号匚口
中央广播电视大学2008-2009学年度第二学期“开放本科”期末考试（半开卷）
数学分析专题研究试题
2009年7月
题号 一 三 四 总分
分数
1.设是任意两个集合，则有（ ）成立.
A. AOACIB B. AOAUB
C. AUA* D. AUA-B
2.对整数加法来说,整数集3中（ ）.
A.零元和负元素都不存在 B.零元和负元素都存在
C.存在零元但不存在负元素 D,存在负元素但不存在零元
3.设 A={a},则有（）.
A. {a}^A B. aUA
C. {a}UA D. A—
4.已知函数y=/（x）在（0,1）内可导，且尸&）在（0,1）内有一个间断点，则八。在（0,1）
内（）•
* A.有界 B.无界
C,间断 D.连续
5. J”（z）=zlnz 在（0,+8）内是（ ）函数.
A.严格下凸 B.严格上凸
C.有界 D.周期
得分评卷人 二、填空题（毎小题4分，共20分）
1.设F为集合X到集合y的关系，如果对任意的x6X, ,
使zFy则称F是映射.
2.在自然数集中，能进行减法运算当且仅当被减数 减数.
3.若＞=/（x）是对数函数，则满足函数方程 S •少= .
4.已知 /（x） = 2’*，则广（工）= .
5.若复数工°是某个整系数多项式0&）=a”工 aj x + a0 （%乂0）的
根，则称xQ是 .
得分评卷人 三、计算题（每小题15分，共30分）
1.已知函数八工）满足5/（x）+y（-）=^,求六工）.
工
2.设 /（x） = ln（l + y^+2）,求 r&）.
得分评卷人 四、证明题（毎小题15分，共30分）
1.证明：方程工5—2工2+4z+6 = 0在（-1,1）内有且仅有一实根.
2.设A,B,C为三角形的三个内角，求证sin y • sin y • sin
中央广播电视大学2008-2009学年度第二学期“开放本科”期末考试（半开卷）
数学分析专题研究试题答案及评分标准
（供参考）
2009年7月
一、 单项选择题（每小题4分，共20分）
1.A 2. B 3. C 4. D 5. A
二、 填空题（每小题4分，共20分）
1.存在惟一的
2.大于（或＞）
3.y（x）+/（j/）
4.2,,nxln2 —
cos X
5.代数数
三、 计算题（每小题15分，共30分）
1.解：已知 5/（^）+/（-）=^ （1）
取X = y,则
5/（7）+/（«） = y
即 5六.）+^（工）=* （2）
（l）X5-（2）得
24_/~（工）=5工—§
1 r 11
2.解.£ （工）=—~. —2工=._ 七___
1 + 丿工’+2 2 ■/工2 +2 （1 + 5/工2 +2 ） \/工2 +2
四、证明题(每小题15分，共30分)
1.证明：设 /Xz)=苛一2z2+4z + 6 6 分
则r(，)是［一1,口上的连续函数.
/(l) = l-2 + 4 + 6 = 9 y(-l) = -l-2-4 + 6 = -l.
由介值定理知至少存在一点工。£( — 1,1),使八工。)=0. 10分
/■'(■r) = 5z‘ 一4z + 4 = 5z‘ + 4(1—工)当 ( —1 >1)时 f (z)〉0
故 r(Q在(一1,1)内是严格单调增加函数
故3=0在(-1.D内至多有一根，
因此方程充一2z2+4z + 6 = 0在(-1,1)内有且仅有一根. 15分
2.证明：已知sinzc在(0,分)内是上凸函数，故有
1 r .厶丄.B. . . r 1 A, 1 B , 1 C-,
亏[sm y + siny+ sin jKsmEyj + yy + yj]
= sin 丄(A + B+C) = M， 10 分
0 6
因此sin a
sinf • sin 旨《§(sin3 + sin 字+ sin 旨)}(身尸=§
15分
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