试卷代号= 1087 座位号匚口
中央广播电视大学2010—2011学年度第一学期“开放本科”期末考试（半开卷）
数学分析专题研究试题
2011年1月
题号 ——- 二 三 四 总分
分数
得分评巻人
一、单项选择题（每小题4分，共20分）
1.已知 g） = g （- D”湍’则 /U） =（ ）•
A. sin X B. cos x
C. ex D. In x
2.已知RUXXX,若有3,工）£R,则称R具有（ ）.
A,对称性 B.反对称性
C.传递性 D.反身性
3. 设数列伝“｝收敛于a,且a>0,则存在自然数N,当„>N时，有（ ）.
A. a„>a B. a„<a
C. & D. a„<-y
4.函数y=fCx）在奁上是严格单调增加函数，则/（^）（ ）.
A.在R上有界 B.在R上无界
C.在R上可导 D.存在反函数
5. 函数y=f（x）在开区间（a/）内可导.且|六工）|《M,则导函数/（^）在怎0）内（ ）.
A.有界 B.无界
C.单调 D.结论不定
二、填空題(每小題4分，共20分)
1.设数集A具有性质sup A=l,则inf(—A)= .
2.曲线六工)=丄在点M(l,l)处的法线方程为
X
3.若函数/^化)在点x — a可导，且fCa) =0,则lim ”(& +丄)= .
n-*ao71°
4.一个集合若不能与其任一真子集建立双射，则称该集合为 .
5.e’° = cos。+ .
得分|评卷人 三、计算题(每小题15分.共30分)
1•求证当时，函数須G)=JTE一心是严格单调减少函数.
2.已知函数八工)满足/(—) = ^4^ + -，求/(x).
•X JC
L证明：映射f ： Xf Y是双射当且仅当对于X的任一子集A有/(X-A) = ¥~/(A).
2•证明，设为锐角三角形三内角，则
3 cos A + cos B + cos
试卷代号= 1087
中央广播电视大学2010-2011学年度第-■学期“开放本科”期末考试（半开卷）
数学分析专题研究试题答案及评分标准
（供参考）
2011年1月
一、 单项选择题（每小题4分，共20分）
1.B 2. A 3.C 4.D 5.D
二、 填空题（每小题4分，共20分）
1.-1
2.y=x
4.有限集
5.fsin 9
三、 计算题（每小题15分，共30分）
1.解:首先求六z）的导数.得
/’（■r） = （l+z，）-*工一4 （4 分）
令gz） = （l+zZ）Tz,我们先求9愆）的最大值与最小值，为此，求敢游的导数：
。（工）= （1+z2）T — （1+®）Tz2 = （1+z2）T （8 分）
由此可见，Vxei?,有0愆）〉o,即 衣Q是单调增加函数且
lim 平（x） = 1 * lim ^>（x） = — 1
+ « L — g
因此有-lVg）Vl （12分）
若a21,则/W<0,此时/’（z）是严格单调减少的函数，由此得证• （15分）
2.解：
]+卫）_ ±2 +] 1
\ X / X2 X
=（亨，一孝+1 （10#）
以工代替1±工得
X
f（x）=xz—x + l （15 分）
四、证明题(每小题15分，共30分)
1.证明：已知 f： XT 是双射，证明 /(X-A)=Y-/(A). V>e/(X-A), 即 3xex-A,使得 y=f(x)其中 j-ev且 ^g/(a),故有 yey-/(A),即 /XX—厶)uY—y(厶)，
Vy6Y-/(A)即 3x€X,使得 f(x)EY,但 y(x)GA,即
故 xe X-A,^=/(x) 6/CX-A),所以 Y-/(A)(Z/(X-A),
总之我们得到了 y(x-A)=y-/(A) (8分)
《：已知VAUX有 f(X-A)=Y~f(A),求证r是双射.
对于A=0,有/(A)=/(0) = 0故有/(X)=Y,即/是满射. (11分)
再来证明r是单射，若不然但六羽)=八处)=了,选取A= {xj, 则 /(X-A)= U /(x) = Y,
xex-(旳 >
但 Y-y(A)-y-^},则 矛盾，
故r是单射，总之r是双射. (15分)
2.证明：对于 工£ (0,—-) ,/(jr) =cos 尤有 f (x) ~ —cos x<0
故在(0,3)内,/(x) = cos x是上凸函数. (5分)
由上凸函数的定义，对于 Xi ,x2 ,x3 6 <0,y) ,ax ,a2 ,a3 G (0,1)且 皿+%+% = 1有
% _/(円)+% _/”(工2)+务/'(工3)Wr(叫而 +缶初+%工3)
1 1
§ [cos A+cos B + cos C]^cos §(A+_B + C)
cos 3 2
3
cos A+cos B + cos CW 方
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