试卷代号：1087 座位号E
中央广播电视大学2007-2008学年度第一学期“开放本科”期末考试
数学专业 数学分析专题研究试题
Z
2008年1月
题号 一 二 三 四 总分
分数
得分评卷人
一、单项选择题(毎小题3分，共18分)
1.A,B,C是三个集合,AUB|JC,则.有( )成立.
A.若则有
B.若 x^A,则
C.若则 xEBnC
D.若 Wbijc,则 Wa
2.A= {a,b)，则 2A =( ).
A.({a},{6})
I
B.{0Aa} , {b}, {afb}}
C.{{M,{研，0}
D.({a) , {研,{a,b})
C.不能成为有序域
4.F.A^B，则( )正确.
A.有唯一 使(a,»)£F
,B.存在 a£A,晚 B,使(aM)£F
C.存在 a£A,3£B,使(a,3)EF
D.y/aEA,有唯一死 B,使(a,少 EF
5,/Jt)与£(t)是开区间(0,1)内的有界连续函数,则函数傅|在(0,1)内( )•
A.有界 B.无界
C.有定义 D.结论不一定
6.f(x’)=x\nx 在(0,+8)内是( ).
A,上凸函数
B,下凸函数 ”
C.周期函数
D.有界函数
得分评卷人
二、填空题(毎小题3分，共18分)
1.设R是X中的关系，若R是 ，对称的，传递的，则称R是等价关系.
2.函数_/(工)在点血连续«lim/(x)= •
3.设 /(x)= V(_成「»,则須(Q = ln( )•
/ n –
4.若直线y = ax+b是曲线y=fkx)的斜线渐近线，则a = .
5.已知 F'(*)=yO)，贝!| j f (x)dj： = •
6.已知.f(工)连续，且 F(Q=则 F'(Q= •
得分评卷人
三、计算题（每小题8分，共32分）
1.已知 /”（cosjt） = cos2jt—1,求/”（卫）. ‘
2. 求3 = ^在点（2,8）的切线方程. 1
/
3.求J §卫4 dz.
r2 寸2 2
4.求椭球乒+许+ ｝《1的体积V・
得分评卷人 四、证明题I每小题8分，共32分）
1
L证明/（J?） = sin —在（0,+8）内不是周期函数.
工
2.证明，若。V^V^V^Vk，则 虹—sin空〉sim-sin竺.
Xz x-3 —x2
3.设△ABC是一给定的三角形.证明，在BC边上存在且仅存在一点D,使直线AD将
AABC分成面积相等的两部分. 、
4.设△ABC是任意给定的三角形，证明sinA + sinB + sinC<|V3.
中央广播电视大学2007-2008学年度第一期“开放本科”期末考试
数学专业数学分析专题研究试题答案及评分标准
（供参考）
2008年1月
一、 单项选择题（每小题3分，共18分）
1.D 2. B 3. C 4. A ‘ 5. D 6. B
二、 填空题（毎小题3分，共18分）
1.反身的
2.f（x0）
3.x~\~\
5.F（W-F（a）
6.f（x）
三、计算题（每小题8分，共32分）
1.解：已知 fCcosx） = cos2x~ 1
2 , ? ■,
= cos 工一sin1
=cos3 X— ( 1 — cos 纭)一1
= 2cos纭一2（5分）
故 顶（工）=2工2一2 （8分）
2.解以’=3工2 （2分）
令工=2,有丿‘ |工=2 =12 （5分）
切线方程为y — 8 — 12(x — 2)
y — ]2了 一 16（8分）
3.解：J [^工亳工
=_1狎 |3
25工X
_244 （8分）
4.解:任取一点z£（—c,c）,过点（0,0,z）作垂直于z轴的平面，其截口为一椭圆面.，椭圆 方程为
-七 £ 2、”/ 2 2、 “
扌（C _必）：声一廿）
S（z）『•哗（普一頒） （2分）
C
V — J S（z）dz=2j 7T 綽（/一成）血
=2兀綽（土 一 §之3 ） = ^nabc （8 分）
四、证明题（毎小题8分，共32分）
1•证明:当工〉号时，。弓” （2分）
V©，初〉§8＞如有 °v土V土〈号
由于sip在（0,夸）是单调增加的函数，故
3.证明:将△厶BC的BC边放置在直角坐标系的z轴上，设BC边为z轴上的区间
任取xG[B,C],记S&）是△ABh的面积测S&）是定义在[B,C]上的连续函数。 （4分）
因S（B）=O,S（C） = AABC的面积，由介值定理知存在点使S（D） = AABC
面积的一半，即S（D） = yS（C）. （6分）
由于SG）是一个严格单调增加的函数，故存在唯一的DG（B,C）使S（D） = -i-S（C）.
（8分）
4.证明：因sinz是（0,冗）上的上凸函数（2分），故对于円£（0,冗），*£（0,1）3=1,2,3冲
+。2+金3==1,有
sinCct! xi +°2 士 2 +。3工3sinri +血 sinx2 +a3 sinx3
~[sinA + sinB + sinC] W sin * + + C
7T V3
sinT = T
sinA + sinB+sinCV^^
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