试卷代号：1087 廛位号 F
中央广播电视大学2006-2007学年度第二学期“开放本科”期末考试
数学专业数学分析专题研究试题
2007年7月
题号一 二 三 四 总分
分数
得分评卷人
、单项选择题（毎小题4分，共20分）
1.心=M(—if(2“\)产I，则六工)=()•
A.sinx
B.cosx
C.Inx
D.ex
2.VAUX,则 A( )(广
A.=
B.尹
C.U
D.O
3./：X^y,A,BC：X,则 /(ApBX )/(A)D/(B).
A.Z)
B.U
C.关
D.=
4.A={a,3,c},R={(a/),(a,c),(3,c)},则关系 R 是( ).
A.对称的
B.反身的
C.传递的
D.等价关系
5.设 f 是集合A 上的运算,\/a,b,cEA,若 f(f(a,b),c)=f(a,f(b,c)),则称 f 满足
( )
A.交换律
B.结合律
C.分配律
D.消去律
得分|评卷人
二、填空题(毎小题4分，共20分)
1.设FUAXB, ，有惟一的砲B,使(a,W€F,则称F是从A到B的 映射.
2.设X,Y为集合，如果 ，则称X与Y等势.
3.函数_f(z)在点a连续当且仅当对于任意的e>0, 有 |y(z)—y(a) | Ve.
4.设函数在(a0)上有定义，若存在函数F(x),使得 ，则 称FS)是函数六工)的一个原函数.
5.设函数y(泌的定义域d是关于原点对称的实数集，若
，则称六*)是D上的偶函数.
得 分 评色L. 三、计算题（每小题15分，共30分）
1.设 lima# 存在，且 ai = l,%+i=〒S“ + —…，求 lima„.
n-*oo £ \ Un J n-*°°
2.求 J专[sinx + cosx] sinxcosxdx.
得分评卷I 四、证明题（毎小题15分，共30分）
A r c ?
1.△ABC是一任意给定的三角形，求证sin y + siny + sin
2.A=[0,l]”（A）UA,且六z）在A上连续，则对于任意的自然数〃，存在x0GA使
f（e））=二3・
中央广播电视大学2006-2007学年度第二学期“开放本科”期末考试
数学专业数学分析专题研究试题答案及评分标准
（供参考）
2007年7月
一、单项选择题（毎小题4分，共20分）
1. A
2. C
3. B
4. C
5. B
二、填空题（毎小题4分，共20分）
1. VaEA
2.存在F：XT 是双射
3. 3 5>0,当 |工一a| VS 时
4.Fz(x)=/(x)
5. V工有 /(x)=/(—x)
三、计算题（毎小题15分，共30分）
L 解：设 则
”一»8
liman+1 =lim + = /lima„ +
n—*oo n~*°° 厶 I Un / Lt \ n—*°° lllllUn
‘ ‘ ‘ n-*co
n-*o=>
(6分)
故有
a = l(a + 4)
(10 分)
2a2 = a2+2
(13 分)
注意到an>0,祇af
(15 分)
2.解： j [siar + coszjsinrccoszdx
sin2xcosxdx + cos2 rsiurda:
0 J 0
(4分)
sin2xd（siar） — cos2 xd（cosx）
=§ 口 -一 口=音
四、证明题(每小题15分，共30分)
1.证明：因为sinrc是(0,戒内的上凸函数，故对于任意的皿，孔，孔£(0,那
(0,1) +02+013 = 1,有
ai sinzi + a2 sinj：2 + siaz3 W sin（oi«ri +02*^2 +。3刀3） 对于给定的△ABC,令而=奇口2 =学,丑=旨,ai =俄=Q3 =§ 有
1 / . A 1 . B 1 . C、/ . A+B+C
T（sln 万+ sm 歹 + sm 2） Wsm ——
. k _ 1
—sin-g—^-
.A, . B, . C— 3 sin -g-H-sin -g-H-sin
2.证明：若/(0)=。或須(1) = 1,则证毕(2分)，
故设 /(0)>0,且/U)V1.
令
9>(x) — x” — /(x)
则是［o，i］上的连续函数，且
p(0) = 0 — /(0) vo,甲(1) = 1 — /(I) > 0
由连续函数的介值定理，存在XO使歹&。)= 0,即
•Zo = fCxo)
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