中央广播电视大学2005-2006学年度第二学期“开放本科”期末考试
数学专业数学分析专题研究试题
2006年7月
题号 一 二 三 四 总分
分数
B. AZ)AUB
A. ACAUB
4.已知函数y=f（x）在R上可导，且丨广（*）氏1,则在R±（ ）•
A.有界 B.无界
C.间断 D.连续
5.已知函数丿=六工）在（一1,1）内有界，连续且可导，则其导数/（工）在（T,l）内（ ）•
A.有界 B.可能无界
C.可导 D.前三个结论不真
6.f{x）=x\nx 在（0,+8）内是（ ）函数.
A.严格下凸 B.严格上凸
C.有界 D.周期
得分评卷人
二、填空题(每小题3分，共18分)
1.已知A={a,b}，则A的籍集2A= .
2. 设R为X中的关系，若有 ，则称R是反身的.
3.一个集合A若不能与其任意真子集建立一个双射，则称集合A为 .
4.已知 /(x) = sin(14-ax)，则f S= .
5.若T。是六工)的最小正周期，则六z)的任何正周期T必是To 倍・
6.函数 rS)定义在(a,3)上，若V 工Va£(O,l),有
，则称六z)是下凸函数.
得分评卷人 三、计算题(每小题8分，共32分)
1.设函数六工)满足方程2須(*)+須(手)=3工，求了危
2.若函数y=/(x)的曲线上每一点都存在不垂直于工轴的切线，切线的斜率是该点横坐 标的3倍,且曲线通过坐标原点，求/(x).
3.求由曲线/(x)=3×2+2×4-1和直线,x = O,x=l,y=0所围成的曲边梯形的面积.
4.设 /(x)=e’/l2+2，求 / (a:).
得分评卷人 四、证明题(毎小题8分，共32分) 、
1.设有映射： AfB,g > B-*C,且gj ： A-C是双射，证明g是满射是双射•
2.证明(x+y)4^8(x4 +y).
3.证明/(x) = sin —(x>0)不是周期函数.
X
4.证明方程工6—2衣+ 10工+6 = 0在(一1,1)内有且仅有一个根.
中央广播电视大学2005-2006学年度第二学期“开放本科”期末考试
（供参考）
2006年7月
一、单项选择题（每小题3分，共18分）
二、填空题（每小题3分，共18分）
{09 {a}, {6} Aa^b}}
/(axi +(1—a)x2)^a/(j：i)+ (l—a)/(x2)
三、计算题（每小题8分，共32分）
1.解将岂弋替”得
由原方程得
4y(*)+2六丄)= 6*
X
由②一①得
2.解由题意知函数y=f(x)在任一点*处可导，且
f, {x’) = ?>x
即 f(x) = ~x2+c
由 /(0)=0,得 c=0 故 /(x)=yj：2
3.解设围成的曲边梯形的面积为S,则
S= J (3j:2+2x+l)dx=j：3 J +j:2 j +xJ =3
4-解河京
z?+2
四、证明题(每小题8分，共32分)
1. (1)证明g是满射.
因为 C=(g</)(厶)=g(/■(厶))Ug(B)UC
故 g(B) = C
(2)证明f是单射.
若不然，存在Xi ，有/(xI)=y(x2),从而有
(g°/)(X1 ) =g(/■(工I ) ) =g(y&2 ) ) = Cg°f) (x2)
这与g1/是双射矛盾.
2.证明设/(x)=x4，r(x) = 12×2>0,/(x)在R上是下凸函数，依照下凸函数的定义
即[“I■(工+：y)]y$s’+.3/
即(x+>)4^8(x4 +>4) 8 分
3.证明 对于工>0,丄是单调减函数，当x>-时,0〈丄〈奇 4分
X n XL
故当X>-时,sin丄是单调减少函数，故sin丄不是周期函数. 8分
7T X X
4.证明 设 /(x)=x6-2^2 + 10x+6,则須&)在［一 1,1］上连续，
且/(-1) = -5<0,/(1) = 15>0故由连续函数介值定理知至少存在一点x06(-l,D , 使八孔)=0,即方程在(-1,1)内至少有一个根. 5分
同时»/z(x) =6×5 —4x+ 10 = 6(x5 +1) +4(1 —z),当 z£( ― 1,1)时,f(x)>0,即 f (x) 在(一1,1)内严格单调增加，故f伝)=0在(-1,1)内至多有一个根. 8分
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