试卷代号:1087
中央广播电视大学2005-2006学年度第一学期“开放本科”期末考试
数学与应专业数学分析专题研究试题
2006年1月
题号 一 二 三 四 总分
分数
2.A.B是两个集合，集合AXB = .
3- 一个集合若不能与 建立一个双射，则称该集合为有限集.
4.函数J”（工）在点a的邻域内有定义，若 ，则称函数/（工） 在点a处连续.
8 1
5.设 r（Q=,N_1）宀宓_1）W 则 r（号）=
6.r（”是（a, b）内二次可微的函数，若f’3 ，则f（工）是下凸函数.
也色业丝- 二、单项选择题（每小题3分，共18分）
1.设A,B是两个集合且AUB,则B—（B —A）（ ）A.
A.=
B.U
C.ZD
D.尹
2.设R是X中的关系，若，则称RM ）•
A.反身的 B.对称的
C.反对称的 D.传递的
3.X 是一集合，对于 A,B€2X,规定 AVB0AUB,则（2乂，V）是一（ ）.
A.全序集 B.半序集
C.有序域 D.序完备集
4.集合 X= {a,b,c,d）,则（ ）•
A. *X B. aUX
C. {a}€X D. {a}UX
5.函数y（工）在开区间（a，3）内可导，则/’（”）在开区间（a,&）内（ ）•
A.有界
B.连续
C.导数有界
D.有任意阶导数
6.在（a,ZO内连续可导，且北任（”）,使得/（工。）=0,则&是（ ）.
A.稳定点
B.极值点
C.拐点
D.临界点
1.已知a„= V2+V2 + -+V2 »说明数列修“｝极限存在，并求1而如
L+8
2.已知 /(j:) = cos(j?2) + sin(x2) » 求 f (x).
3.已知 5/(^)+/( —)=x,求 f(£).
工
4.求函数y(x)=^+-的极值.
X
得分I评卷人
四、证明题(毎小题8分，共32分)
1.須：XfY,A,BUY,则有
/-1(AUB) = /-1(A)UP1(B).
2./(x)是定义在R上的连续函数，对于任意的工，yER,有
\f(x’) — f(y)\<2\x—y\.
求证:g(*)=2z—_y&)是严格单调增加函数•
3.证明:•方程芸+2z + 5 = 0有且仅有一个正实根.
4.证明不等式 | sinj： —sinyK |x—3^1.
试卷代号：1087
中央广播电视大学2005-2006学年度第一学期“开放本科”期末考试
数学与应专业数学分析专题研究
试题答案及评分标准
（供参考）
2006年1月
一、 填空题（每小题3分，共18分）
1.由A的所有子集
2.｛（a,”a£A, bEB｝
3.其任一真子集
4.=/（a）
5./（f ） = 1
6.>0
二、 单项选择题（每小题3分，共18分）
1. A 2. C 3. B 4. D 5. B
6. A
三、 计算题（每小题8分，共32分）
1.解」
由J的表达式可见即数列｛a,,｝单调增加 2分
釦=V^V2. a2 =丿2十显2,—般地，有a” V2,即数列｛a”｝有界 4分
故 lima,,存在.设Viman=a 则 cz= & + 2
a2 =a + 2
a2 —a —2 = 0
解岀 «1,2= jEli VT+8] = y(l±3),且 ai=j(l-3)<0,应舍去,
故 lima,, = §(l + 3) = 2. 8 分
2.解预(工)=cos(x2)+sin&2)
有 f (工)=一sin(jc2) • 2j: + cos(x2) • 5 分
= 2x[cos(*z)— sin(^2)] 8 分
3.解：
已知 5/(x) + /(^)=j; (1)
取工=.，则
1 1
5/(y)+/(0 = y
即 5/<7)+^(-r)= ^ (2) 4 分
(DX5-C2)得
24/(jr)=5^-6 分 所以/愆)=我忡_手] 8分
4.解：
令f (工)=1一4 =。 解得工=士1 3分
X
尸(工)=2 •号，/(1) = 2>0,故x=l是极小值点，且/(1) = 2是极小值； 6分
f( —1) = 一2<0,故*=一 1是极大值点，且/(-1) = -2是极大值. 8分
四、证明题(每小题8分，共32分)
1.证明：先证.广*AUB)D广'(A)Uf-‘(B)
事实上 因为 AUBZDA，故,rI(AUB)=)r，(A) 2 分
同理有 r ‘(AUB)^/ ‘(B)-故有广'(AUB)Z)广，(A)(J广'(B) 4 分
再证：尸'(AUB)U广「(A)U.fT(B).
任取 故g>eAUB,使^(刀)=3/£40日
若 >£A,则”£_T'(A)；否则 y^B,则 故 ^6/’1 (A) U/”1 (B)
即 r1(AUB)^r1(A)U 厂(B) ^ 6 分
从而有 rI(AUB)=rl(A)U/~l(B) 8 分
2.设V%1，Z2ER,不妨设心V%2,则有
g(^2)—g(*i) = 2^2 —fkx2) — [2e —/(jci)J 2 分
=2伝2 —心)一[/”(心)~/(^i)]
22(工2一％i)一 lf(*2)—須(工1)I
〉2(工2一而)—2|項一尤11 = 0 8分
3.证明：设
f(^)=x3+2x+5 1 分
则fGc)在R上连续且可导，存在互>0,使且/(-^)<0 3分
由连续函数的介值性是理知，存在孔£(一而，而)，使八百)=。 5分
即八工)在R上至少有一根，根据/(^) = 3×2+2知，对于xER,有/(工)〉0即f(。是
R上严格单调增加函数，故六二)在R上有且仅有一个根，即
x3+2x + 5 = 0
有且仅有一个解. 8分
4.证明 因为/(t) = sint在R上连续可导，由拉格朗日中值定理
| sina: — siny | = | (sint) | /==c • | x—y | 5 分
=I cosc I • I x一 y I
W/—yl 8 分
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