试卷代号：1087
中央广播电视大学2004-2005学年度第二学期“开放本科”期末考试
数学与应专业数学分析专题研究试题
2005年7月
题号 一 二 三 四 总分
分数
得分评卷人
一、填空题(毎小题3分，共18分)
1.设F为集合X到集合Y的关系, ‘
，则称F是映射.、
2.设A, B, C是三个非空集合，称 是一个从AXB 到C中的运算.
3.设(厶，〈)是_半序集raEA, ,则 称a为A的极大元.
4.设有区间I,并有开区间集合S. ,则称开区间集合S覆盖了区间I.
5.若复数务是某个整系数多项式/>(x)=a„x”4-a„_iX”_1H aix+ao{a„^O’)的根，则
称*0是 •
6.设函数定义在开区间(a, 3)内，对于V工I, 3), Va£(0,l),有/XaZi +
(1—a)x2)) + (1 —a)/(x2),则称 (工)是(a, 3)内的 函数.
788
评卷人
二’单项选择题（毎小题3分，共18分）
1.集合 X={{a},b,c,d),则(
A. a£X
B.aUX
C. {a}ex
D. {a}UX
2.设 f « X^Y, ACX,则 A( )广，(六A)).
3.设R是X中的关系，若R=Rf,则称R%（ ）.
A.反身的
B.对称的
C.反对称的
D.传递的
4.已知須（z）在开区间（a,3）内连续，则/Xz）在”0）内（ ）.
A.有界
B.保号
C.有最大值
D.任意一点都连续
5. 已知尸&）是定义在A上的周期函数，则/（x）（ ）.
A.在A上至少有一个连续点
B.在A上连续
C.有最小正周期
D.有无穷多个周期
6. 设六工）是（a,D）内充分光滑的严格下凸函数，则（）.
A./•&）在（队3）内必取到最小值
B.y（工）在（a0）内必取到最大值
C./（x）在（a,3）内有 r（x）＞0
D.前三个结论都不对
.土分卷、 三、计算题（毎小题8分，共32分）
1.已知a”=”2 说明数列｛a“｝的极限存在且求lima”
2.已知 /（x）=x • sinx • lar,求 f （x）.
3.求一函数，其函数曲线过点（0,1）,且该曲线上每点切线的斜率是该点横坐标的4倍.
4.求曲线任一点的法线方程•
得分I评卷人 四、证明题（毎小题8分，共32分）
1.X—Y.A.BCY,证明 ri（AnB）=r1（A）nr1（B）.
2./（X）是定义在R上的连续函数，对于任意的工，yeR,有
|f&）一六少 |<2 0—夂，
求证:g（x）=/（x）—2x是严格单调减少函数.
3.证明，方程x5-2×2+4x+6 = 0在（-1,1）内有且仅有一实根.
4.设A,B,C为三角形三内角，证明
.A , . B, . C” 3
sin 2 十 sm •十 sm ~2^~2′
试卷代号：1087
中央广播电视大学2004-2005学年度第二学期“开放本科”期末考试
数学与应专业数学分析专题研究试题答案及评分标准
（供参考）
2005年7月
一、 填空题（毎小题3分，共18分）
1.任意的工ex,存在唯一的丿使xFy
2.映射 F : AXB-*C
3.VxGA, a<x都不成立
4. 对于任意的xEI,都有厶使厶
5.代数数
6.下凸
二、 单项选择题（毎小题3分，共18分）
1. C 2. A 3. B
6. C 4. D 5. D
三、计算题（每小题8分，共32分）
1.解：由已知条件知a”= J2a”_i 2分
先说明J单调增加,事实上丿而Ml.故4分
其次釦V2, 02= 扃’V2, —般地有a„<2,故数列化”｝有上界因此lim%存在，设lim%
n_»oo n-»oo
=a 5分
则 a = y/2a.解得 a = O,或 a = 2
因a=0〈显=a、不符合题意，故lim a„ = 2 8分
n-»- + oo
2.解 J (x) = 1 • sinz • lnz+xcosxlnx+x • sinz •—
x
= sinxlnx+xcosxlirc+siirc
3.解:设该曲线为函数了 =須（女），则
/ (x)=4x 3分
由此得
/(x)=2×2+C 5分
因曲线过点（o,i）,由此得c=i即
/(x)=2×2+l 8分
4.解:显然，一lVzVl,当 x6（-l,l）时，
X3分
2 gr( &J?
任取一点曲线上一点（血，％）, x0 6 （―1»1）~{0},则法线方程为
y~yoz=>^^ x°（x—x0） 5 分
Xo
当乳=0时 法线方程为z=0 6分
当孔=± 1时 法线方程为丿=0 8分
四、证明题（每小题8分，共32分）
1.证明：先证r1（AnB）cr1（A）nr1（B）,事实上，因 aqbca,故有 /-^ahb）
U尸（A） 2分
同理有广i（Af|B）U广1（B） 3分
故 r1（AnB）cr1（A）nr1（s） 4 分
再证 r1（AnB）^r1（A）nr1（B）.
则 y=/（x）eAnB.故 x6r*（AnB）,即广丫厶）1广丫8）（=广i（acib） 6分 从而有 r1（AnB）=r1（A）nr1（B） 8分
2.证明：
设\/皿，不妨设xj<x2 2分
g（x2） — g（xj） =/（x2） — 2×2 — [/（Xi）—2xj]
==/(^2)— /(^1)— 2(X2 — Xi )
—2(x2—xi)+ |/(j：2)—/(xj) I
< —2(x2—xi)+ 2|x2—xi I
=0 6分
所以,g(x)=/(x)-2x是严格单调减少函数. 8分
3.证明：设 /(x) = x5-2×2+4x+6 2 分
则須G)是［一 1, 1］上的连续函数.
/(1) = 1-2+4+6=9 /(-1) = -1-2-4 + 6 = -1
故至少存在一点xoe(-l,l)，设須(女)=0 4分
/(x) = 5×4-4x+4 = 5×4 + 4(l-x)
当 xG(-l,l)时,/&)>0
故八工)是(-1.D内严格单调增加函数 故/(x) = 0至多有一根.
因此方程X5—2×2 + 4x+6 = 0在( — 1,1)内有且仅有一•根. 8分
4.证明：设/(x) = sinx,则須(z)在(0,£)内是上凸函数 2分
由上凸函数的性质有，对于t2, t3e(o,那有
令*1=今，*2=学，爲=专,则
A , B , C
sin 4 + sm| + sin^<3sin 1-1-1
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