试卷代号：1087
中央广播电视大学2004-2005学年度第一学期“开放本科”期末考试
数学与应专业数学分析专题研究试题
2005年1月
题号 一 二 三 四 总分
分数
1.集合X中的关系R同时为 ，则称关系R为等价关系•
2.设是非空数集，若存在实数a,满足1） VxCE,有工（心2） ，则称a是数集E的上确界.
3.函数y=/（x）在z。的某个邻域内有定义.若 ，则称函 数_/（z）在点xa连续.
4.若y = f kx ）是指数函数，则f ）满足函数方程/’（* + ））=
5.若y = fCx）是余弦函数，则/Xz）满足函数方程 .
6.设集合SUR”,S是凸集当且仅当
碍 分 评卷人 二、单项选择题（每小题3分，共18分）
1.(A-B)U(B-A) = 0当且仅当厶( )B.
B.尹
C.U
2.已知函数＞=/（x）在实数集R上可导，且在R上户（工）有界，则函数丿=六*）在R上
（ ）.
A.有界
B.无界
C.连续
D.不连续
3.已知函数丿=&）在闭区间上连续，则在也，切上（ ）•
A.可导
B.不可导
C.可积
D.不可积
4.已知函数＜&）与g，在也,们上满足关系妒&）则（： ）.
A./（x） = ^（x）
B./（x）＞9）（x）
c. y（*）Vp&）
D.前三个结论都不对
5.函数r（*）在开区间（a,6）内连续，则以上）在伝,6）内（ ）•
A.有界
B.可导
C.可积
D.前三个结论都不对
工cos —
6.函数/U）=J 工 ，在点*=0处（ ）•
0, x=Q
A.可导
B.连续
C.间断
D.前三个结论都不对
得分评卷人
三、计算题（每小题8分，共32分）
1.已知 y&）= ln sin工°,求 工）.
2.已知/XQEnE+m，求该函数曲线的渐近线.
3.计算定积分『zsinzdz・
4.已知y&）=（工一ai），+ （工一a?）。 kx—anY，求/’（工）的最小值点•
得分评卷人 四、证明题（每小题8分，共32分）
1.证明，若工>0,则
x—工2 vln（l + ;c） V>r.
2.设数列｛%｝满足a_>0且lim^ = r>l,则级数気a”收敛•
L8 an „=1
3.证明，若函数在［a,3］上连续，有数列召£也,6］顷=1,2,…，且Iim/（x„） = c,则 存在使r（工。）=。.
4.已知 x>o,^>o,x+>=y,证明 cosx+cosyV必.
试卷代号：1。87
中央广播电视大学2004-2005学年度第一学期“开放本科”期末考试
数学与应专业数学分析专题研究试题答案及评分标准
（供参考）
2005年1月
一、 填空题（每小题3分，共18分）
1.反身的、对称的、传递的 .
2.Ve＞0,丑o£E,使得 x0＞a—e
3.limy（x）=y（x0）
4./（x+y） = /（j：） • /（＞）
5./（x+3＞） + /（x—3＞）=2y（x）/（3＞）
6.Vx1?x2es, Vae（O,l）,有ae + （l—a）工2^S（或者：s中任意两点的连线在S中）
二、 单选题（每小题3分，共18分）
1. A 2. C 3. C 4. D 5. D
6. B
三、计算题（每小题8分，共32分）
1.解 /z(x) = -r^—?cosx2 • 2x
siiu:
（6分）
=cotx2 • 2x
(8分)
2.解①当©■*（ — §）+时,/’（工）-* + 8 故工=一§是垂渐近线.
（2分）
② lim厶以=临1嶋+丄)=1
J—*OQ JC 3C
(4分)
lim(/(x) —x) = limxP ln(e +—) — 1
[.ln(e+3») — 1 r 11
= hm = hm —:—=—
尸。+ ， f+ e+y e
（6分）
故斜渐近线方程为尸卄§
（8分）
3.解 JTxsiiu:dx =—zcosz I 芝 + jw coszcLc = sinx I 芝=1
4.令/(^)=0,求稳定点得
0 = f (z) = 2(z—Qi) + 2(z—四)+…+2(x™an)
(8分)
^0=-（ai+a2 + -+a„）是稳定点 （4 分）
f （jt）=2w>0. 故 /z（.zo）=2w>0.血是最小值点 （8 分）
四、证明题（每小题8分，共32分）
1.证明 设 yj：2 ,/i（j?） = ln（l+j?）
当 j?=0 时，/’（o）= “（o）= 9（o）=o
f （z） = l — z, = 矿（z） = l,
当 z>0 时 1 — j:2<11 即 1 – （6 分）
即当 z>0 时,f （工）V//（z） V妒（z）
故 /（z） VhO） Vq（*）即 * —Vln（l+z） Vz （8 分）
2.证明：因lim务±l = rVl,故存在N,当n^N时冬<广。=中<1 （2分）
即有 aN+i <roaN faN+z<roaN+l <r^aN 9—般地有 aN+m<r^aN （5 分）
根据吏书收敛， （6分）
m= 1
8 N 8 8 N 8 8
故有习％= Y ％而S Y书故、％收敛，所以习a„收敛.
*=1 n = l N+l n=N+l m—\ n= N+i n= 1
（8 分）
3.证明：已知在闭区间［a,切上连续,故存在使得Vx£［a,M，有
（2 分）
故 mW了MQWM （4 分）
根据 lim f{x„） = c 故有 mWcWM （6 分） 由连参函数的介值性定理，存在工。£意,切,便 g）=c （8分）
4,证明：已知cos*在［0,如内是上凸函数， （2分） 故对于工，住［0,紀,§£（0,1）有
cos 亨［cos工+cosj0 （6 分）
故
cosz+cos_yW2cos =2cos *=龙 （8 分）
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