试卷代号：1087 座位号 E
中央广播电视大学2003-2004学年度第二学期“开放本科”期末考试
数学与应用专业数学分析专题研究试题
2004年7月
题号 一 二 三 四 总分
分数
得分评卷人
一、填空题(毎小题3分，共18分)
1.A-(BUC) = (A-B)ri .
2.设 £XfY,AUX,BUX,则 /(AAB) /(A) A/(B).
3.设E是非空实数集，B=supE当且仅当1) ,2) Ve>0,
3 孔 有e<^0.
4.致密性定理是：有界数列｛%｝必有 .
5.对于工>0,令L(工)=P -dt,则对于z>0,y>0,有1(兰)= .
J1y
6.设 y(Q=急(_1)”(2：yy宀则/'(冗)= .
1.f：X-Y,当 _＜（ ）时，VAUX,有广 i（_f（A））=A.
A.连续 B,可导
C.是满射 D.是单射
2. 按教材中定义，0是（ ）.
A.自然数 B.整数而不是自然数
C.奇数 D.超越数
3.定义实数集R上的两个函数方&） = 1与力&） = sin纭+cos纭,它们之间的关系是
（ ）
A.相等 B.不相等
C.线性无关 D.相似
4. 设六工）是其定义域内的严格单调增加函数，则（ ）.
A.八工）不一定有反函数
B.須&）有连续的反函数
C.f（工）有反函数且反函数严格单调增加
D.六工）有反函数且反函数严格单调减少
5. 设六工）在其定义域内可导，则（ ）•
A.六工）在其定义域内有界
B.广（工）在其定义域内有界
C.寿在其定义域内有界有
D.前三个结论都不对
6.设SUR”是一非空有界闭凸集J： SfR是严格下凸函数,xoeS是极小值点，则
（ ）
A.是最小值点
B.xo不一定是最小值点
C.还可能有其他
D.前三个结论新
得分评卷人
——— 三、计算题(每小题8分，共32分)
1.设Z1与Z2是两个复数，求\zi +z212 + |zi—Z212—2(|z! |2 + |z2 12),并说明几何意义
2.已知 r(z) = ±,求 rw(z))).
3.求a为何值时，r(z)=Jl + z2-az是严格单调增加函数？
4.在第一象限内有定点A(a,&),过点A做线段MN,点M在X轴的正半轴上，点N在 Y轴的正半轴上为坐标原点。求点M与点N的坐标各为多少时△MON的面积最小，最 小面积是多少？
得分评卷人 四、证明题(每题8分，共32分)
1.是集合A中的两个等价关系。证明：若R^Rz是等价关系，则3。死=死。尺.
2.证明方程产一2衣+ 4^+6 =。在(-1,1)内有且仅有一实根.
3.证明：当z>0时，有z—扌衣Vln(l+z) Vz.
4.设A,B,C为三角形三内角，则sinA + sinB + sinCV决底
试卷代号：1087
中央广播电视大学2003-2004学年度第二学期“开放本科”期末考试
数学与应用专业・数学分析专题研究试题答案及评分标准
（供参考）
2004年7月
一、填空题（每小题3分，共18分）
1.A-C
2.U
3.有*
4.收敛的子列｛知｝
5.L（x）—L（y）
6.— 1
二单项选择题（每小题3分，共18分）
1.D 2. B 3. A 4. C 5. D 6. A
三、计算题（每小题8分，共32分）
1.解:z^ai+ibi ,z2=a2 + ib2 2 分
则 Zi + z2 = （fli +a2） + i（6i +62）— z2 = （ai — a2 ） +z（^i — 62）
I Zi +z2 12 + I Zi —z2 I2 =（⑶ +a? ）2 + （缶 +b2 ）2 + （«! —a2 ）2 +（^i ）2
=2（屛+稅+展+网）=2（|为|2 + |处卩） 6分
所以 Ib+Z2『+Ib—Z2『一2（1% |2+五|2）=0
该结果的几何意义是平等四边形的对角线的平方之和等于四条边长的平方之和. 8分
2. 解：已知 ＜（工）=岂，故 5*））=匚；（/ 2分
1 1 1 -——1
/（/（^）） = ― — = 5 分
1 一 ] —工 X
1—X 1—JC
/■（eG）））=]3（”））=^H=* 8-
3-解/6=号’
令甲（二）= ,求甲（力的最小值 3分
V H~ J72
妒（Z）= （*27（1+®）-+ ）’ = （1+«z2）T — （1 +卫2）-正卫？
=（1+工2）-奇〉0,故用（工）单调增加 5分
且 lim^（工） = 1, lim^ （工）=—1 因此 对 V xG-R,有一IVq（工）VI 7分
J—* 4- OO X~*” ― 8
当a^ — 1时»
f （工）＞ —1 一aN。,故7″（工）单调增加 8分
4.解：设 Ma,O）,N（O,y）,则了=斧^ 2 分
从而有面积SCr） =告匹- 3分
I X—a
令¥（工）=攵2笔二戸］=。 5分
得 工2—2球=0,工=2卩，即工=2°时，S（2u）为最小值且
S（2a）=g^^ = 2湖 8 分
Z a
四、证明题（每题8分，共32分）
1.证明：设（z点）ERyRz，由于尺。死是等价关系，故3，z）£R。死 2分
从而有z使得3，z）eRz,（z,”eR,进而有（工,2）£尺，（2点）£死，即
Cxjy^ERz °R\ 6 分
此即表明RyRURzoR ,同理有死。RiURi。死
故 8 分
2.证明：设/■怂）=工5—2工2+4z + 6 2分
JXz）是区间［-1,1］的连续函数,/（-1） = -1,/（1） = 9,故至少存在一点工。£（一1,1）, 使 /（a：o）=O 5 分
/■’（工）=5£’ — 4z+4 = 5z‘ +4（1 —z）＞0
即/愆）在［一1,1］内严格单调增加，故只有唯一■的z°£（ —1,1）,使八工。）=0 8分
3.证明：设 g)=L#,g&) = ln& + l),g)=工,显然有 /(O)=g(O)=A(O)=O
f(Z)= 1 —工,g，O) = O) = 1
当x>0时,显然有广(z) Vg'(z) V/G),
故当 x>0 时,x~^-x2<ln(l + xXx
4.证明：设A,B,C是三角形的三个内角，故OVAVsOVBVsOVCVtt 2分
根据/(x) = sinx在(0,兀)内是上凸函数，故有
§(sinA+sinB + sinC)Msin(!(A+B + C)) 6 分
O O
即 sinA + sinB + sinCOsin60° = — V3
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