试卷代号：1087
中央广播电视大学2002-2003学年度第二学期“开放本科”期末考试
数学与应用专业数学分析专题研究试题
2003年7月
题号 三 四 总分
分数
1.集合X中满足 的二元关系称为序关系.
2・设E是非空数集，若存在实数，满足：l)Vz€E,有工〈伊2) Ve>0, 3x0eE,有
，则称B是数集E的上确界.
3.函数在点句的某个邻域内有定义，设在务)处的改变量是厶工，相应的函数改
4.若/(“是定义在R上的非零连续函数，且满足方程
则称fCr)是指数函数.
5.函数c(Q是R上的连续函数，且满足门)
2)cQ)= 0有最小正根;U 3) c(0)>0,则分别称cQ)是余弦函数.
6.既上凹又下凹的函数是,(]) =
得 分 晳卷人 二、单项选择题（毎小题3分，共18分）
1.设有映射若对于任意的a€A,有（g ,，）（a）=o,则了是单射, g是满射.
2.若函数須（工）在［a, +8）上连续，且limf（i） = l,则須Or）在言，+8）上有界.
X~** + 8
3.证明：两个多项式
/(x) =aQxn +□] 1*一’ + …+an^x+an
<p(x)=bQxm+bi +•••+如一 1 工+如
在区间（。助内相等（/（x）=^（x））,当且仅当
n=mt a「=b&, a「=bi,…，an=bn
4.证明：若工>0,则
x一-^-x2<ln(l+xXx
试卷代号：1087
中央广播电视大学2002-2003学年度第二学期“开放本科”期末考试
数学与应用专业数学分析专题研究
试题答案及评分标准
（供参考）
2003年7月
一■填空题（每小题3分决18分）
4.
5.c(£+t)+cQ—r)=2c(/)c(r)
6.ax+b（其中a9b为常数）
二、单项选择题（每小题3分.共18分）
三、计算题（每小题8分，共32分）
1-解 方程两边对a:求导，求出，、即
f + f/ = 0
/ 4x
〈3,2)
于是，切线方程为
2 2
‘一 2=—3)或 y=—耳工 + 4
2.解由已知了（=）=岂
須（,&））=—= 一宁
1 一岂
/V（y（z） ） ） = 1 一六据））
3.解由 Zi ・Mi = |zi|2 = 1 有
4.解 因为cos工在（0,寺）内是上凸函数，所以由上凸函数的定义有
号［cOSz + cOSjQNcOS
即有 cosx+cosy^/2 <
当取工=）=奇”时，cosz+cos；y=V2\故国是函数cosi+cosy的最小值.
四、证明题（每小题8分，共32分）
L证明先证/是单射.
假设，不是单射,则存在釦，衣6A,使得为夭仞，但，S】）= r（Q2）・根据已知条件
(g °/)(a)=a 有
□i =(g ) = g(y(ai)) =g(/(a2)) = (g。/)(仞)=。2
与a\尹仁2矛盾，故f是单射• 再证g是满射• 一方面g（B）UA,另一方面，由BZV（A）,有
g(B)Z)g(y(A)) = (g)(A)=A
即g（B）=A,故g是満射.
2.证明：因 lim /(x) = l,对于 £=1, 3M>0,当 x>M 时，有
JT”* + 8
|/(X)-1|<1,即 |/(x) |<2
因是0,初上的连续函数,故存在缶＞0,使得当x6[a, MJ时选取5
= max{缶，2},从而有对于有所以，/&）在[a, +8）上有界.（证毕）
3.证明：“充分性”
当 7X = m, 口0=、0 ,句=缶，•••t an=bn 时/(z) — p(ar)三0,即 /(x)=^(x).
“必要性” 反证法，假设”乂不妨设”＞巩,则n次代数方程
至多有〃个实根.另一方面，由于在区间（Q0）内相等，即对于虹（a,b）,有f（i） 一叩愆）
=0,这表明它有无穷多个实根，这与它至多有几个实根矛盾.故n = m.若a°=b。, a】=b】.
…，阪一1=虹1,但at^bk9因/（］） —甲（工）=0至多有n — k个实根多另一方面，由/■（］） = 甲（］），对任意的（a,5）,有了（工）一9（了）=0,即有无穷多xE （a,6）是/（z）—甲&）=0的 实根,这与它至多有n-k个实根矛盾.（证毕）
/i（o）=/（o）=7*2（o）=o
且对于 Q0,有f】Gc） = l—工，fGr） = d，，2（了）= 1,显然有
f i&)<f (xXy7 2(x)
由教材中定理知，当Z＞0时即有
z—&c2 vin( 1+«r) Vi
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