试卷代号：1087
中央广播电视大学2003-2004学年度第一学期“开放本科”期末考试
数学与应用专业数学分析专题研究试题
2004年1月
题号 — 二 三 四 总分
分数
得分评卷人 一、填空题（每小题3分，共18分）
1.集合X中的关系R同时为反身的，对称的，传递的，则该关系R为 .
2.设E是非空数集，若存在实数伊满足1）, V工有工2但2） ，则称B是数集E的下确界.
3.函数 > =f J）在点工。的某个邻域内有定义，若
存在，则称函数八”在点孔可导.
4.若> =f（工）是对数函数，则f C ）满足函数方程f Jy）=
5.若非零连续函数满足方程./■（*+））=六z）十六少，则函数六z）是 函 数.
6.设函数/（工）定义在区间（aM）上，对于任意的工】，五£ （aM）, Va£ （0, 1）,有 成立，则称 八工）在（a ,方）上为下凸函数.
得分评卷人
二、单项选择题（每小题3分，共18分）
得分评卷人
三、计算题(每小题8分，共32分)
1.已知 /(j:) = tan cosj:2，求 f(x).
2.求定积分『xcosxdx.
3.已知 /(j：+1) — j：2—4Jr + 3,求 /(J7).
1.设数列0｝满足a_>0且lim 苗>rVl,则级数 收敛.
‘L8 n=]
2.已知函数八工)在言，们上连续，在(aM)内存在二阶导数，且/(a)=/(6)=0,存在 c€ (a,W,/(c)>0.则至少存在一点 * (a,b),使 /'(£)V0.
3.已知工>0,了>0,工+ 了=专，证明sinjc + siny《必.
4.已知函数在[a,切上连续非负，且存在一点r°£(a0),有_/&。)>0,则「八工)&〉0.
试卷代号：1087
中央广播电视大学2003-2004学年度第一学期“开放本科”期末考试
数学与应用专业数学分析专题研究试题答案及评分标准
（供参考）
2004年1月
一、 填空题（每小题3分，共18分）
1.等价关系
2.Ve>0, 3^0eE,使得工
„ ，- 尸（工。十△工）—7″（工。）
3.hm
At~ 0 [^工
4.y（x）+/（^）
5.线性
6.+ （1—°）工2 ） WU&i）+ ）
二、 单项选择题（每小题3分，共18分）
1.D 2. C 3. D 4. A 5. B 6. A
三、 计算题（每小题8分，共32分）
1.解/（z）= 2~r （―sinj;2） • 2x^=——等军王司 8 分
J cos2（cosz’） COSZ（COSJ7Z）
2.解： jrcosjrdx = zsinz — sinzdz
― sinzdz
Z J o
= ~~ + cosx| 2 一1 8 分
3.解：/(x+1)=j:2’—4jr + 3
=(*+T)2 — 6&+，1)+8 5 分
故/Xz) =^2 — 6rr + 8 8 分
816
„ M 1. X—sirtz 1 — cosz
4. 解：hm 3 = hm——
lo x lo 3z
1 i. jc—cosz 1 sinx
=1■四一^=歹岐M
四、证明题（每小题8分，共32分）
1 -\-r
1.证明：因lim 広=rVl,故存在N,当n^N时，％7（九=字之1 3分
n-*-oo 匕
即QN时，有a. 03 4分
因为级数史书收敛. 6分
n=N+l
OO N 8 OO
故有因、a“收敛 7分
n= 1 n = l n=N+l n= N+l
故“收敛. 8分
n= 1
2.证明：已知片怂）在S，少内存在二阶导数，故f（Z）在（“佔）内连续 2分
由拉格朗日定理，存在&£（a,c）,使得
广（&）=匹）”）一〉0 4 分
a — c
存在使得
g = 6 分
O— C
故存在EE （&，&），使得
尸(£)= f (里2? (&2 VO
3.证明：已知/(^)^sin^在［0,寡上是上凸函数 2分
故对于
:c’jyElO,专),(0,1)有
sin ^—^^ — (sinx + sin^) 6 分
817
sinx-Fsinjj^2sin 2sin -^-=a/2 8 分
4.证明：已知r（*）在&，以上连续且存在&£5）有/（^0）>0,故存在3>0,使得
（孔一乱％0+s）u（q/）且当 xG（%0—3,%（）+3）时,y（x）^^-/（x0） 4 分
因非负，故
P pos r^+s Cb
/（x）dx = f{x）Ax + /（x）（Lc + r（z）ic 6 分
J a J a J xQ —8 J r0+5
p0+5 1
2 /（x）dx —/（J：o）• 23 = f（x0）^ > 0 8 分
J 布—8 Z
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