试卷代号:1087
中央广播电视大学2002-2003学年度第一学期“开放本科”期末考试
数学与应用专业数学分析专题研究试题
2003年1月
题号 一 二 三 四 总分
分数
4.设欢工)是从(0,+8)到R上的连续函数，满足
2)对于a>0, a^l,有p(fl) = l,则？)G)是以a为底工的对数.
5.若函数s(Q, c(Z)是定义在R上的连续函数，且满足
?2)3A>0,当 f€(0,A)时,c(Q>0, s(t)>0, 3) c(O)=sQ) = l,则分别称
s(«), c(”是正弦函数与余弦函数.
6.设F为从集合X到集合Y中的关系，若VMX,有唯一的MY，使
F为(从X到Y中的)映射.
l.AUB-B（ ）A.
A.= R丰
C. U D. Z)
2.实数集R是（）.
A.有限集 R可列集
C.不可列集 D.空集
3. f 是从X 到 丫 的映射，且 AUX, BUX,则六 )/(A) Cl/(B).
A・= B.尹
C. 2D D. U
xsin —, jc=/=Q
4.函数/(x)=. X
Oy x=0 在点H=。处（ ）•
A.间断 B.连续
C.可导 D,取得极小值
5.函数yCr）与§5（H）在［a, 6］上有界，且甲（h）：#：。，则：孵;在［a,妇上（ ）.
A.有界 B.无界
C.有下界而无上界 D.结论不定
6.下面结论（ ）是正确的.
A.若六工）是单调函数,也是单调函数，则（厂初⑵是单调函数
B.若yao在数集A上可导，且六h）有界，则far）在厶上有界
G若f（H）是周期函数,x=9J（t）,Jl!|（/•?＞）（«）是周期函数
D.若f（H）在数集A上有界且可导，则fGr）在A上有界
得分评卷人 三、计算（毎小题8分，共32分）
1.求过抛物线丁=4廿+3上的点MC2.19）的切线方程.
2.已知 2/（x）+/（-）=3x,求
X
3.已知 x>0, ,>0, 求 sinx+siny 的最小值.
4.若 诟=Gr—关（0,0））,求/+罗.
得分评卷人 四、证明题（毎小题8分，共32分）
1.设有映射/• AfB, g ： B-*C,证明:
（D若g。/’是满射，则g是满射-
（2）若g•是满射且g是单射，则r是满射・
2.若fS）在点u处连续，则| /（x）］在点a处也连续.
3.证明：方程x5-2×2+4x+6=0在区间（一1,1）内有且仅有一个实根：
4.证明/（x）=xsiru:不是周期函数・
试卷代号：1087
中央广播电视大学2002-2003学年度第一学期“开放本科”期末考试
数学与应用专业数学分析专题研究
试题答案及评分标准
(供参考)
2003年1月
一、 填空題(毎小題3分.共18分)
1.传递的
2.双射
3.=y(a)
4.1) V(0, +8),寧(工3；)=°(工)+用(7)
5.1) c(t—r)=c(t)c(r)+A(?)5(r)
6.xFy
二、 单项选择题(毎小题3分，共18分)
l.C 2.C 3. D 4.B 5. D 6. A
三、 计算题(毎小题8分，共32分)
1. 解首先计算过点M的切线的斜率k^y’\ =8×1 =16 (4分)
I x=2 I j-=2
所求的切线方程为
y—19 = 16( j:—2)
即 13 8 分
2.解 已知 2/(x)+/(^-)=3x (1)
将*代替h,得
2f(-)+/(x) = – (2) 4 分
X X
⑴X2—⑵得
1 1 Q
4/(x) +2f(—)-2/(—)-/(x) = 6x-—
JC 3C H
3.解已知在(0,那内,sinx是上凸函数，由上凸函数的定义有
y(siiu:+siny»sin 三尹=sin -j-=y
即 sinz+
且当 x=y=^时，sin-^-4-sin 故波是 sinx+siny 的最小值. 8 分
4.解 ® z—a+ib，则 a2+6*= |z|2 3 分
因 |«| = |x—iy| 4- |x+iy| =1,故 a，+&2 = l 8 分
四、证明题(毎小題8分，共32分)
1.证明(1)因g •/是满射，即(g。/)(A)=C,进一步有C=g (/(A)),故g是满射.
4分
(2)釆用反证法.
假设/■不是满射则存在娘/XA),但铤B.设c£C,使c=g®,由于g是 单射，故Wg(/XA)) = (g『(A),即(g。/MA)*C,这与g。/•是满射矛盾，即f是満射.
8分
2,证明 Ve>0,因为/'(h)在点a连续,故存在3>0,当|x-a|<5时，有
|/(x)—y<a)|<e
由绝对值不等式得
| |/(x)| —|/(a)| K|/(x) —/(a) I 4 分
故对任意的e>o, ma>a,当处一嵐<$时，有
| lyGr) | —/(a) I |<e
即I六工)i在点a连续. 8分
3.证明:设六/=狎一2廿+4工+6,则六工)是［一1, 口上的连续函数，宜
7(-1) = _1, /■⑴=9
由介值定理,至少存在一点xoe(-i, 1),使六女)=0. 4分
由 f (x)=5×4—4x+4 = 5×4 +4(1 —x)得，当 (― 1, 1)时，f(H)>0.即 _/\工)在
(-1,1)内严格单调增加.故有且仅有一点xoe(-l, 1),使/(Xo)=O,即方程#一2廿+ 红+6=0在(一 1,1)内有且仅有一实根. 8分
777
4.证明采用反证法.
假设/（x）=xsinx是周期函数，因是连续函数且不是常值，故六h）具有最小正周 期，设为T.选取自然数如使得2如+号>T.故存在工。£（0, 2虹+号）使
六西）=六2机+号）=2虹+号 （*） 4分
另一方面，对于仆£（0,2加+号），有
/（xX|/（x） | =x I sinr I ^x<24»r+y
这与（*）式矛盾.故Hsinx不是周期函数. 8分
点点赞赏，手留余香
给TA打赏
评论0