中央广播电视大学2003-2004学年度第二学期“开放本科”期末考试
数学与应专业计算方法(本)试题
2004年7月
题号 一 二 三 四 总分
分数
1.近似值0.450X102的误差限为( )。
A. 0. 5 B. 0. 05
C. 0. 005 D. 0. 0005
2-求积公式|/(0) + A/(l) +±/(2)的代数精确度为( )。
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
3.若实方阵A满足( )时，则存在唯一单位下三角阵L和上三角阵R,使A^LRO
A. detA^O B.某个 detAt^O
C. detAt 尹0 以=1 ••• 1) D. detAt乂00 = 1,…
「2 1 r
4.已知A = 1 2 2 ，则 II A 11^ = ( )o
_1 3 5_
A. 4 B. 5
C. 6 D. 9
5-当实方阵A满足為=乃，瓜1>1妇3>2),则乘幕法计算公式勺=( )。
A. Xf B. X.+fA
C. Xk D. Xk+1 —AiXjt
评卷人
二、填空题(每小题3分，共15分)
1.兀=3.14159…，具有4位有效数字的近似值为 ■
2.已知近似值e，五，则厶(而~x2)= •
3.已知 /(x)=x[ 三、计算题(每小题12分，共60分)] [ 求矛盾方程组：
+4 =3
《工1+2工2=4
皿一工2 = 2
的最小二乘解.] [ 用列主元法解方程组
2xi +5五 + 3^3 =6
* 2xi + 4五 + 3^3 = 5
+6互 +2^3 =4] [ 已知方程组]-l,则差商兀1,2,3]= •
4.雅可比法是求实对称阵 的一种变换方法・
5.改进欧拉法的公式为 .
分评巻人
(1)写出雅可比法迭代公式；
(2)证明|«|<2时，雅可比法收敛；
(3)取«=1,初始值X⑴=(1,1,1)丁，求岀X⑴.
4.用n=4的复化梯形公式计算积分j：手&,并估计误差.
5.用切线法求方程工4一3工+1 = 0的最小正根.
(1)确定含根区间，检验切线法收敛条件；
(2)写出切线法迭代公式；
(3)选初始值工。，计算出心.
得分评卷人
四、证明题(本题10分，每小题5分)
1.设工“=甲(工”)，p=max| 矿(工)| VI
证明 由工z=晚工C几=0,1,…得到的序列｛%｝收敛于”.
\y = — ]0了
2.对于初值问题】
1^(0)—1
证明当A<0. 2时，欧拉法绝对稳定.
试卷代号:1084
中央广播电视大学2003-2004学年度第二学期“开放本科”期末考试
数学与应专业计算方法（本）试题答案及评分标准
（供参考）
2004 年 7 ,
一、 单项选择题（每小题3分，共15分）
1. B 2. C 3. C 4. D 5. B
二、 填空题（每小题3分，共15分）
1. 3. 142
2.&T1—厶工2
3.1
4.全部特征值和特征向量
^=yn+h.f^xn，必）
5.V 丈肾 D =yn+-^LfC^n，必）+六工“+1，丈竿\）］
初=0,1 … ？2=0,1,…，N — 1
三、 计算题（每题12分，共60分）
1.解：
中〈工 1，工2）=（二1 + 工2 — 3）? +（Z1 + 2^2 —4）2 + （而一工2 一 2）2
3 日 _18 _ 9
解得 乃一万~,处一頁
12 a 故该矛盾方程组的最小二乘解为刀=宇,初=亡.
2.
‘2536’_4624’_4624_
解 2 4 3 5 —► 0 1 2 3 —► 0 2 2 4
4624_0224_001L
故得方程组的解为工1= —1,工2 = 1,工3=1，
3.(1)雅可比法迭代公式为：
工没+»=扌(l+g按)
< = X(3 + a^<-> +a^<m) ) 7n=0,l —
工顼+i>= +(]+a工按)
(2)因为lalv2时,A为严格对角占优矩阵，所以雅可比迭代法收敛.
? S ?
(3)取 a=l,X® = (l,l,l)T,计算得 X® =(S，¥，W
4.解
P 丄d工 * =[1 + 2(纟 + £ + £) + 員]e 0. 697
J1 x 8 5 6 7 l
用 (工)=一§，/Z'(z) = m，M2=max|//’&) I =2
所以，成心)1《叢广&
5.(1)由于 /(0) = l>0,/(0. 5) = -0. 4375<0 所以工* €[0,0. 5]
在区间[0,0. 5]上/(工)=4工3—3V0,f (工)= 12工20,
则由条件f(工。'(工)20,取工。=0,切线法收敛.
(2)切线法迭代公式为：工“+】=%一当者扌，” = 0,1，…
(3)由男(工。'(工)20,取工。=0,用上迭代公式计算得
四、证明题(每小题5分，共10分)
1.证明 由 x„+i =95(^) i=0,l,…，工* =<j)3 )
两式相减，应用中值定理得
\xn—x’ I = ) I =丨”(&)丨 |工“-1—工* | 工* 丨(“Mp”丨工()一工* |
由pVl得工”—工*(7lf 8). 5分
2.由欧拉公式得
y„==(l —10/i)y„-!
5” =(1 —10 人)5”-i
所以,|e„ I = 11 —10A| |e„_i |=…= |1 —10A|”|e0|
当 h<0. 2 时，有 |l-lOA|<b|e„l<leol
所以欧拉法绝对稳定. 5分
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