试卷代号：1083
国家开放大学2019年秋季学期期末统一考试
几何基础试题（半开卷）
2020年1月
题号 —• 二 三 四 总分
分数
得分评卷人
一、选择题（每小题4分，本题共20分）
1.了轴的齐次线坐标为（ ）•
A.[1,0,0] B.[1,1,0]
C. [0,1,0] D. [1,1,1]
2.若点p在二次曲线r上，那么它的极线一定是「的（ ）.
A,直径 B.切线
C,半径 D.渐近线
3.（ ）对对应点唯一确定两个点列间射影.
A. 3 B. 1
C. 4 D. 2
4. 仿射变换把三角形的中位线变成（ ）.
A.中位线 B.中线
C.高线 D.角分线
5.若（AB,CD） = -1,则 A,B,C,D 四点（ ）.
A.不共线 B.重合
C.等距 D.调和共辆
6.菱形在仿射变换下变成 .
7.射影对应把正方形对角线变成 .
8.不重合的 对对应元素确定唯一一个对合对应.
9. 设 a = {l,O,—= —a 与否的夹角为 .
10.由配极原则可知，无穷远点的极线一定通过 .
得分评卷入 三、计算题（每小题分，共30分）
11.求过两直线工一丿+ 2 = 0与z+y —1=0的交点和点（1,1,1）的直线方程.
12.求二次曲线3j：i +2蒐+zi”z+z2工3 =。与x轴的交点,并求出过交点的切线方程.
13. 求四点 的交比（AB.CD）.
得分评卷人
四、证明题（每小题10分，共30分）
14.试证明，以任意三角形的三条中线为边可做一个三角形.
15.设XYZ是完全四点形ABCD的对边三点形，XZ分别交AC,BD于L,M证明 YZ,BL,CM 共点.
X
第15题图
16.若三角形ABC的三边AB.BC、CA分别通过共线的三点P,Q,R二顶点B与C各 在定直线上移动，求证顶点A也在一条直线上移动.
试卷代号:1083
国家开放大学2019年秋季学期期末统一考试
几何基础试题答案及评分标准（半开卷）
（供参考）
一、选择题（每小题4分，本题共20分）
1. C 2. B 3. A 二、填空题（每小题4分，本题共20分）
6.平行四边形
7.任意四边形的对角线
8.两对
9.
10.中心 三、计算题（每小题10分，共30分）
1L解 两直线工一丁 + 2 =。与x+y — l = 0的齐次坐标形式分别为工1一％2+2^3=。，
«27[+工2一/3=0， * 3 分
交点为
Mi U2 Wj
1—12 =（ — 1,3,2） 6 分
1 1 -1
于是，过点（一1,3,2）与点（1,1,1）的直线方程为
-r I 工 z % 3
—1 3 2 =百+3^2 —4%3 =0 9 分
1 1 1
即 工1+3j；2—4心=0 , 10 分
223
12・解 二次曲线给3xi+2jcI+jc1jc2+^2^3 =0与Z轴的交点由方程组
3×1 +2^2 +ziJ：2 +刀2尤3 =0
Y
Xz =0
确定,解之得(0,0,1), 4分
过该点的切线方程为
［号L
(0 0 1)万 2 —工2 =。 7 分
1 L
I。万 °1
化简后为工2=0,切线方程为色=0 10分
13.解 取厶和B为基点，将A,B,C,D四点的坐标依次表示为a,b,a+X,b,
a+\2b , 3 分
则四点的交比为
(AB ,CD) = — . 5 分
人2
3
这里3C=A+B,于是万=1,£)= 2厶_3B,于是人2 =一万， 8分
因此,
(AB,CD)=^- = –|■- 10 分
A 2 O
四、证明题(每小题10分，共30分)
14,证明 如图，设 AB =c ,BC = a ,CA = b,则口+b+c=0 2 分
设AD=7n,BC=/i, CF = l9则以m,nj为边可作成一个三角形当且仅当m+n+l=Qt…
5分 在△ABD中
m +
厶
在ABCE中 A
n =a+-^-b
在中
以上三式相加得
m+n+l
=a+Z>+c + ?(a+b+c) =0
于是三条中线构成三角形. 10分
15.证明 如图，对四线形ABCD,根据定理4. 10可知，在对角线AC边上的四点A,C,
Y,L调和共貌，即G4C,YL) = —1.
在四点形YBZL中，LB与YZ交于N,设MN与YL交于C’,由定理4. 9可知，过对角 点M有一组调和线束，即M厶、MC’和MY、ML,于是(厶C’,YL) = — 1,所以，点C应与点C’ 重合,^YZ,BL,CM共点. 10分
M
第15题图
16.证明 如图所示，取Q为透视中心，
则(B,B| ,…)〒(C,G ,G，…)，于是 P(B ,B. ,Bz,…)#(C,Ci ,Cz ,•••).……3 分
在这两个射影线束中，PR是自对应元素，所以，由定理4.15,
…）Xr（C，G,C2，.“）, 8 分
由定义4.10,两个透视对应的线束对应直线的交点A,A15A2，-共线，即顶点A也在一
条直线上移动. …10分
第16题图
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