试卷代号:1083 座位号匚口
国家开放大学2019年春季学期期末统一考试
几何基础 试题（半开卷）
2019年7月
题号 一 二 三 四 总分
分数
得分评卷人
一、选择题（每小题4分，本题共20分）
1.向量 a //b ,则（ ）.
A. a与£对应分量成比例 B. a • b=Q
c. »与£线性相关 D.无法判定
2. 当（ ）时，向量?={2,0,x},6 = {2,-8,-1）垂直.
A. x~2 B. x = l
C.工=3 D. jc = 4
3.已知（ ）对对应点可以确定一个仿射变换.
A. 2 B. 1
C. 3 D. 0
4.（ ）在射影对应下不变.
A.交比 B.角度
C.面积 D.长度
5.（ ）对对应点唯一确定点列之间的射影对应.
A. 4 B. 3
D.无限
得分评卷人 二、填空题(每小题4分，本题共20分)
6.仿射变换把梯形变成 .
7.向量 a丄石的充分必要条件是 .
8. 个不共心的射影对应的线束对应直线的交点全体构成一条二次曲线.
9.射影对应把矩形变成 .
10.(BA,DC)=r,则(厶B,CD)= .
得分评卷人 三、计算题(每小题10分，共30分)
11.求使三点(0,0),(1, —1),(1,1)的对应点分别为(1,2),(2,4),( — 1,3)的仿射变换式.
12. 求二次曲线x] +xl —*6工任2 +2百工3 + 2工2工3 =0与x轴的交点，并求出过交点 的切线方程.
13.经过A (1 , 1)和B (2, 0)两点的直线和直线工+ 2丿一1=0交于C点，求(人BC).
得分评卷人 四、证明题(每小题10分，共30分)
14.等边三角形的中线垂直于底边.
第14题图
15.证明，如图所示，若三点形ABC与A’B’C’的对应边BC与B’C’的交点X,AC与A’C
的交点Y,AB与A，B，的交点Z共线，则三组对应顶点的连线AA’,BB’,CC’共点.
0
第15题图
16.如图四边形ABCD被EF分成两个四边形AFED和FBCE,求证三个四边形ABCD,
AFED,FBCE的对角线交点K ,G, H共线.
试卷代号:1083
国家开放大学2019年舂季学期期末统一考试
几何基础试题答案及评分标准（半开卷）
（供参考）
2019年7月
一、 选择题（每小题4分，本题共20分）
I.A 2. D 3. C 4. A 5. B
二、 填空题（每小题4分，本题共20分）
6.梯形
7.二者内积为。（或a • b=0 ）
8.两个
9.任意四边形
10.r
三、 计算题（每小题10分，共30分）
II.解将每对对应点分别代入仿射变换公式， xf ~a~\-anx-\-any
< 3分
= b~\~ a 2y a 22 y
得
A —a
22
2 = a o. n — a 12
V
4 =万+〃21
~l = a+an +<ii2
32+si +a22
3
们2 = _万
代入仿射变换式，得所求的仿射变换式
[Z 1 3
工=1_歹工_万了
V 10 分
， I 3 1
> =2 + —x~~y
12.解 二次曲线X： +x2~\~x\ —^XxX2-\-2x1x3-\-2x2x3= 0与x轴的交点由方程组
‘工£+工；+工乌一6工1丑 +2^?1丑 +2工2工3 =0
v
缶=0
确定,解之得 工1 =—工3 1^2=0
取工3=1，得工1 = —1,于是交点为（一1,0,1） , 3分
过该点的切线方程为
1 -3
化简后为工2=0,切线方程为工2=。 1。分
13.解 经过AB两点的直线方程为
工+j）— 2 = 0 3 分
求经过AB两点的直线与直线工+ 2j —1 = 0的交点
x-\~y — 2 = 0
二 + 2丁一1 = 0
交点 C 的坐标为(3,—1), 6分
于是
AC 、
(厶BC) = ^ = 2 10 分 四、证明题（每小题10分，共30分）
14.证明如图所示，
设 AB — a,AC —b,BC= b_a,
设 AD= m,
于是
m • (b —a) = y (a+b) • (b~a)
= |(ib|2-|a|2) 6 分
因为 I AB I = I AC| ,即丨 a I = I b ,
所以 m • (b—a) =0,
即 AD±BC . 10 分
15.证明 如图所示，若三点形ABC与A’B’C’ 的对应边BC与B’C’的交点X, AC与A’C’的交点 Y, AB与厶’B’的交点Z共线，考虑三点形XBB，, YAA’, 5 分
由于XY与AB, A’B’都交于Z,由笛沙格定理, 三组对应边的交点C,C’,0共线，于是
CC共点. 10分
16.证明 因为D,E,C是直线Z上互异的三点，A , F,B是直线m上互异的三点,
由定理4. 16（巴卜斯定理），三个交点G = DFXAE,K=DBXAC,H^EBXFC共线.
10 分
第16题图
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