试卷代号：1083 座位号匚口
国家开放大学（中央广播电视大学）2018年春季学期“开放本科”期末考试
几何基础 试题（半开卷）
2018年7月
题号 一 二 三 四 总分
分数
得分评卷人
一、选择题（每小题4分，本题共20分）
1.设 3={1,0,-1},6 = {1,-1,0},则 a 与舌的夹角为（ ）.
2.A、B、C、D为直线上的互异的四点，C、D在A、B之内，则四点交比（BA,DC）（ ）.
A.小于零 B.大于零
C.等于零 D.无穷大
3.不重合的（ ）对对应元素确定唯一一个对合对应•
A. 3 B. 1
C. 4 D. 2
4.若点P在二次曲线「上，那么它的极线一定是「的（ ）•
A.直径 B.切线
C.半径 D,渐近线
5. 若（AB,CD） = -1,则 A,B,C,D 四点（ ）.
A.调和共辗 B.重合
C.等距 D.不共线
得 二、填空题(每小题4分，本题共20分)
6.等边三角形在仿射变换下变成 .
7.射影对应把矩形对角线变成 •
8. 对对应点唯一确定两个点列间射影对应.
9. 对不共心的射影对应的线束，对应直线的交点全体构成一条二次曲线.
10.几何公理体系的三个基本问题包括
箜一竺皂’ 三、计算题(每小题10分，共30分)
11.求过两直线工+ 2丿+ 1=0与工+丿=0的交点和点(1,2,1)的直线方程.
12.已知 A(1,2,3),B(5, 一l,2),C(ll,0,7),D(6,l,5),验证它们共线，并求(AB,CD) 的值.
13.求二阶曲线 j：2+2^> + 2>2+4x+2> + 1 = 0 的中心.
得分评卷人
四、证明题(每小题10分，共30分)
14.证明：以任意三角形的三条中线为边可做一个三角形.
15.证明：相交于影消线上的二直线，象为二平行线.
16.证明：在两个三角形中，三组对应边的交点共线,则三组对应顶点连线共点.
第16题图
试卷代号：1。83
国家开放大学（中央广播电视大学）2018年春季学期“开放本科”期末考试
几何基础试题答案及评分标准（半开卷）
（供参考）
2018年7月
一、 选择题（每小题4分，本题共20分）
I.A 2. B 3. D 4. B 5. A
二、 填空题（每小题4分，本题共20分）
6.任意三角形
7.任意四边形的对角线
8.三
9.两
10.相容性（即无矛盾性）；独立性（即最少个数问题）；完备性
三、 计算题（毎小题10分，共30分）
II.解 两直线工+ 2了 + 1 =。与x-\~y — 0的齐次坐标形式分别为互十2工2+工3 =。，工1
+工2=0， 3 分
交点为
W1 Wz «3
1 2 1 =（1,1,一1） 6 分
110
于是，过点（1,1,一1）与点（1,2,1）的直线方程为
■Z1 X. 2 jC 3
1 1 —1 —3×1—2工2+1工3=0 9 分
1 2 1
艮卩 3工1——2工2+工3 = 0 10分
330
12.解因为
_1
=0且
11
-1
=0
所以A,B,C,D四点共线.
设 C =A+A!B,D-A+AiB
由 C = A+2B,D=A+B
得人1=2,人2 = 1
所以(AB,CD)=£ = 2
A2
于是
21
A31 = 13 > A32 = 1 > A33 = 1
因此，中心坐标为(-3,1,1),或写成非齐次坐标(-3,1).
四、证明题(每小题10分，共30分)
14,证明如图，
设 AB =c jBC^a fCA^b ,则 a+6+ c =0
设 AD=m, BE — n ,CF = ~l ,
10分
则以沆前〃为边可作成一个三角形
当且仅当 fn ~1 =0.
A
第14题图
在△ABD中
m = c+^-a
在△_BCE中 n=a-\~—b
在ZXCAF中
亠 「1
以上三式相加得
m + 铉 + I
= a+ 6 + c+ —(a+6 + c)=0
于是三条中线构成三角形. 10分
15.证明 因为中心投影把兀上的影消线Z投影到/上的无穷远直线厂”， 3分
所以，二直线的交点的象为/上无穷远点， 6分
两直线的象交于无穷远点，因此，两直线的象在/上平行. 10分
16.证明 若三点形厶BC与A’B’C的对应边BC与的交点X,AC与厶’C’的交点
Y,AB与A’B’的交点Z共线， 3分
考虑三点形XBB’,YAA’,由于XY与交于Z, 6分
由笛沙格定理知，三组对应边的交点C,C’,。共线，于是AA’,BB’,CC’共点.…10分
第16题图
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