国家开放大学（中央广播电视大学）2017年秋季学期“开放本科”期末考试
几何基础 试题（半开卷）
2018年1月
题号—-—-二四总分
分数
得分评卷人
— ■ , – ■——、选择题（每小题4分，本题共20分）
1.两个向量平行的充要条件是二者的对应分量（).
A.不成比例B.二者内积为零
C.成比例D.不一定
2.点列之间的射影对应是由（
A.四对对应点唯一确定B.三对对应点唯一确定
C.两对对应点唯一确定 D.无限对对应点唯一确定
3.若无穷远直线关于二次曲线「的极点为无穷远点.则「与无穷远直线（ ）
A.不相切B.有两个不同交点
C.相离D.相切
4。极线上的点与极点（
A.共扼B.不共辄
C.可能不共辗D.不可判定
5.下面（）具有仿射不变性.
A.距离B.平行
C.角度D.长度
得分评卷人
二、填空题（每小题4分，本题共20分）
6.仿射变换把三角形的中线变成 •
7.已知共线四点A、B、C、D的交比（CD,AB） = 2,则（CA,BD）= .
8.射影对应把三角形中线变成 .
9.不重合的 对应元素，确定唯一–个对合对应.
10.公理法的结构包括
得分评卷人
三、计算题（每小题10分，共30分）
11.求使直线z+y —1=0的每个点不变，且把点（1,2）变成点（-1,3）的仿射变换.
12.若直线 Z] ,l2,l3 的方程为 z —丿-T = 0,2工 + 丁 一 3 = 0,3工一= （）, 6工 一 1 = 0,求 （L \ I 2 , Z 3 Z 4 ） •
13.求点（1 , — 1 , 1 ）关于二阶曲线工£ +工壹+.药一6″1″2 + 2工”3 + 2工2工3 =。的极线. 圣分I评卷人-
四、证明题（每小题10分，共30分）
14.证明过三角形的顶点且平行于对边的三条直线可做一个三角形.
15.证明如果两个三角形对应边的交点共线，则对应顶点的连线共点.
第15题图
16.设P、Q、R、S是完全四点形的顶点,A=PSXQR,B=PRXQS,C = PQXRS,证明 Ai=BCXQR,Bi=CAXRP,G=ABXPQ 三点共线.
第16题图
国家开放大学(中央广播电视大学)2017年秋季学期“开放本科”期末考试
几何基础试题答案及评分标准(半开卷)
(供参考)
2018年1月
一、 选择题(每小题4分,本题共20分)
I.C 2. B 3. D 4. A 5. B
二、 填空题(每小题4分，本题共20分)
6.三角形的中线
7.-1
8.过顶点相交于对边的任意一条直线
9.两对
10.原始概念的列举；定义的叙述;公理的叙述;定理的叙述和证明.
三、 计算题(每小题10分，共30分)
II.解设所求的仿射变换为
xf
v f , 3 分
yf =b + a2ix+a22y
在直线x + 2j/-l = 0上任取两点(1,0),(-1,1),
则所求的仿射变换把三点(1,2),(1,0),(-1,1),分别变成点(-1,3),(1,0),(-1,1),将
这三对点代入仿射变换式得
1=(2 +d 11 +2(212
3~b+a2i+2a22
l—a+an
Q==b + ci 2\
_l=a—an+2a12
l—b~~a2i +azz
解得
因此，所求的仿射变换式为
怂/ = 一丁 + ]
10分
12.解 厶LL与x轴的交点分别为
3
们=1,/=歹宀=。宀&
、1 3
(0 ~~ 1)( —)
于是 (zz,z/.)———一4^=? -••………1。分
(—1) (0—)
13.解将点(1, —1,1)的坐标及％包，丿=1,2,3)的值代入极线方程
+«12>2 +«13 3,3 )-^1 + «2Z3,2 +«23>’3)-2：2 +(«313,1 +«32 3,2 +^33)‘3)工3 =。
• 3 分
即 (1十3十1)工I十(一3 —1十1)塑+ (1 一 1 + 1)工3 = 0……“-
整理即得所求极线方程
5工I—3工2十工3=0. 1()分
四、证明题(每小题1。分，共30分)
14.证明如图，
设 AB =?,BC~a ,CA — b ,贝!] a + 6 + c = 0 •- 3 分
设EF，FD,DE依次是过△厶BC三个顶点A,B,C且平行于 r 夹 E
对边的三条直线,^’j AB /_/_kDE,BC HkEF,CA //^FD, 7 分 \ / \/
1 1 『1 二 工 « *
*,1 A 1A 1 A 1 .一亠/ 于是 EF == ~^-a= —AC == —b ,\/
D
>_1A 1
ED = 〒AB”， 第14题图
>> A1 —»1A 1>11 _411~»
EF + FD+ED-=—BC + -~AC + -rAB^-~a+~b +云b =-厂（左 + 右+D =0, k k k k k k k
即，以正声，泞,記为边可作成一个三角形. 10分
15.证明 如图所示，若三点形ABC与A’B’C’的对应边BC与B’C’的交点X,AC与A’
C’的交点Y,AB与A’B’的交点Z共线，考虑三点形XBBf,YAA’, 5分
由于XY与AB,A,B,都交于Z,由笛沙格定理，三组对应边的交点C,C’,Q共线，于是
AA,,AB,,CC，共线 10 分
第15题图
16.证明 在ZSABC及△PQR中，
°/ AP、BQ、CR 共点 S , – 5 分
二 由笛沙格定理，对应边的交点Q三点共线.
• 10 分
第16题图
点点赞赏，手留余香
给TA打赏
评论0