国家开放大学（中央广播电视大学）2016年春季学期“开放本科”期末考试
几何基础 试题（半开卷）
2016年7月
题号 一 二 三 四 总分
分数
L 设 a = （—2,6.x},6 = {1, —3, — 1},若＜1〃/,则（ ）.
A. x = — 2 B,工=2
C.工=3 D.工=1
2.A、B、C、D为一直线上互异的四点,C、D在A、B之内，则四点交比（AB.CDX
A.大于零 B小于零
c.等于零 D.无穷大
3.设二次曲线「，若极点为无穷远点，则「在此处与无穷远直线（ ）.
A.不相切 B.有两个不同交点
C.相离 D.相切
4.若点P在二次曲线「上,那么它的极线一定是「的（ ）.
A.切线 B.直径
G半径 D.渐近线
5.在中心射影下，如下哪种量不变（
A.角度 B.面积
C.交比 D.长度
得 分 评卷土 二、填空题（每小题4分,本题共20分）
6.仿射变换把圆变成 .
7.射影对应把梯形变成 .
8.射影对应把三角形中位线变成 •
9.两个不共心的射影对应的线束，对应直线的交点全体是 ■
10.证明公理体系的相容性常用 法.
得分|评卷人
三、计算题（毎小题10分，共30分）
11.求使直线x + 2y-l=0的每个点不变，且把点（1,-1）变成点（-1,2）的仿射变换.
12. 求四点 的交比（AB.CD）.
13.求点关于（1, —1,0）二阶曲线的 3xi 7^ix2+4xix3+5×2^3 极线.
得分|评卷I
四、证明题（每小题10分，共30分）
14.证明：等腰三角形的中线垂直于底边.
15.证明：相交于影消线上的二直线，象为二平行线.
16.若在平面k上有一定直线力，以O为射心投到平面/上为直线力’.证明：当。变动时， 力’通过一定点.
试卷代号：1083
国家开放大学(中央广播电视大学)2016年春季学期“开放本科”期末考试
几何基础试题答案及评分标准(半开卷)
(供参考)
2016年7月
一、 选择题(毎小题4分,本题共20分)
I.B 2. A 3. D 4. A 5. C
二、 填空题(每小题4分,本题共20分)
6.椭圆
7.任意四边形
8.相交于两腰的任意一条直线
9.一条二次曲线
10.模型
三、 计算题(毎小题10分，共30分)
II.解设所求的仿射变换为
=a+anjc +ai2y
h ， 3分
顷=3+ag+aQ
在直线m+2丿一 1=0上任取两点(1,0),(-1,1),
则所求的仿射变换把三点(1,-1),(1,0),(-1,1),分别变成点(-1,2),(1,0),(-1,1),
将这三对点代入仿射变换式得
1 = an +<z
0=azi +b
~l=a~an + ai2
y
1 —b —a2i -pfl 22
—l = a+au
2=b+azl—a22
a” =Qi2 =2
因此,所求的仿射变换式为
‘x’ =2x+2y~l
>，=~+ y
12.解 取A和B为基点，将A,B,C,D四点的坐标依次表示为则 四点的交比为
(AB,CD)=^
人2
这里 3C=A+E,于是 A1 = 1,D = 2A-3B,于是尚=一|*,
因此,
(AB ,CD)=—=
注:其它方法，酌情给分.
13.解 将点(1,-1,0)的坐标及a寸3,j =1,2,3)的值代入极线方程
(aSJyi +aayz +Ca2tyt +4Jzz3″z +aaj^3)^z +(031^1 +asz ^2 +<133*)工3 =。
3分
即(3 – ：+0溢+(： – 5+O)hz +(2-：+0)d
整理即得所求极线方程
10分
四、证明题(每小题10分，共30分)
14. 证明如图所示， A
K AB =a ,AC=b ,BC = b~a , /1\
T§tAD=m, 2 分 / \
于是 B/ I \c
1 D
m • (b^a)= — (a+b’) • da) 第 14 题图
\ b I 2— I a I 2) 6 分
因为I而| = |充| ,即丨a丨=丨&丨，
所以 m • (6—a)=0,
gp AD ±BC. 10 分
15. 证明 因为中心投影把k上的影消线Z投影到/上的无穷远直线广“ 3分
所以，二直线的交点的象为/上无穷远点， 6分
两直线的象交于无穷远点，因此，两直线的象在/上平行. 10分
16. 证明 如图所示，由和直线p确定的平面(0.0)与由Oz和直线》确定的平面 相交于直线P，成为一个平面束，这平面束与平面/分别交于直线p\,p\.
…,“呻每两个的公共点在平面(Oi，0)上，又在平面(0,》)上，所以必在这两平面 的交线上. 3分
(1)当p W平面/不平行时,》与平面/相交于一点，所以这时p\ …中每两个的
交点即p与/的交点，而P与/相交于一点，所以/A,》、，…,…通过一点. 7分
(2)当与平面必平行时…，…都与0平行，所以0、汕‘2,…，…相交于无穷远 点.
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