试卷代号:1083 座位号口
国家开放大学（中央广播电视大学）2014年秋季学期“开放本科”期末考试
几何基础试题（半开卷）
2015年1月
题号 —- 二 三 四 总分
分数
得分评卷人
一、选择题（每小题4分，本题共20分）
1.若非零向量a与方的内积S – ^ = 0,则（ ）.
A. E与石垂直 与石平行
C.上与石线性相关 D.无法判定
2. 在中心射影下，如下哪种量不变（ ）.
A.角度 B.交比
C.面积 D.长度
3. 若两个一维基本图形成射影对应，则对应四元素的交比（ ）.
A.相等 B.不等
C. 1 D. -1
4. 在射影平面上，下面哪些图形可以区别开来（ ）.
A.等腰三角形与直角三角形 B.圆与椭圆
C.四边形与正方形 D.三角形与圆
5. 设 ％={1,0,工},石={2,—6, —1},若 4丄 R 则（ ）.
*
A. z=2 B. z=—2
得分评卷人
二、填空题(每小题4分，本题共20分)
6.设 a=( — = 3,—1｝，若 3/7则 x~ .
7.’是 变换，它是特殊的 变换.
(丿=丿
8.以向量，万为边的三角形面积为S = .
9.由配极原则可知，无穷远点的极线一定通过 .
10.设(AC,BD) = 2,则(AB,CD) = .
得分评
__三、计算题(每小题10分，共30分)
11.求使三点(0,0),(1,1),(1,-1)的对应点分别为(2,0),(2,1),(3,— 1)的仿射变换式.
12.求过两直线[1,0,1] ,[2,1,2]的交点与点2«1 +“2 +3“3 =。的连线的坐标.
13.求二次曲线3j7?+2^+^1^2+.z2^3=O与工轴的交点，并求岀过交点的切线方程. 每分评卷人
四、证明题(每小题10分，共30分)
14.证明：以任意三角形的三条中位线为边可做一个三角形.
15.设OX,OY,OZ为三条定直线，人为二定点，其连线过。点，点R为OZ上的动点, 且直线RA ,RB分别交OX ,OY于点P , Q,证明：PQ通过AB上一定点.
第15题图
16.设△ABC的顶点A ,B,C分别在共点的三直线l,m,n上移动，且直线AB和BC分别
通过定点P和Q，证明：CA也通过PQ上一个定点.
试卷代号：1083
国家开放大学（中央广播电视大学）2014年秋季学期“开放本科”期末考试
几何基础试题答案及评分标准（半开卷）
（供参考）
2015年1月
―、选择题（每小题4分，本题共20分）
I.A 2. B 3. A 4. D 5. A
二、 填空题（毎小题4分，本题共20分）
6.1
7. 正交 仿射
8.j | 3 | |6|sin<3,6>
9.中心
10.-1
三、 计算题（每小题10分，共30分）
II.解将每对对应点分别代入仿射变换公式，
{x a~\~a\^y
h 3分
〔y’= Z? + Q 21 JT + （2 22 丁
得
2 Q. （2j2
Q = b + a22
2= <z + ciii +a12
V
1 =b + （221 +«22
3= q + qii —a12
— l=b + a2} —a22
‘ 5
f
b~ 一 1
Qu =。
解得y
0-22 = 1
代入仿射变换式,得所求的仿射变换式
10分
12.解直线［1,0,1］,［2,1,2］的交点为
«1 «2 就3
10 1 =（一1,0,1）,
212
点（~~1,。，1）与点2的+仞+3叱=0的连线方程为
Xi x2 x-3
~1 0 1 =［一1,5, — 1］ = 0
2 1 3
于是，所求连线的坐标为
［一 1,5,-13.
13,解 二次曲线+2隽+工］互+五±3 =0与X轴的交点由方程组
+ 2 蓦 +.T} x2 +工次3 =。
x2 =0
确定，解之得（0,0,1）,
434
设E,F,D分别为AABC三边AC,AB,BC的中点，则
EF=yBC=-|-a,FD=yAC=y6,ED=yAB = -|’c,
EF + FD+ED = §BC+§AC+§AB = §a + *b+§c =号(a + 3 + c)=0,即，以中位线
亦，瓦5,証为边可作成一个三角形. 10分
15.证明 利用“射影到无穷远”.取OAB所在直线为影消线，经过中心投影之后,
CLAgBg为无穷远直线， 3分
如图所示，则RFiRRQQzRzR为平行四边形 6分
于是
所以，
因此，RQi与PzQz的象交于无穷远点， 所以，PiQi与PzQ2相交于AB上一定点.
16.证明 如图，设△ A’B’C’是满足条件的另一个三角形，在△厶BC和左A’B’C中，由于
对应点连线l,m,n共点。,
由笛沙格定理可知对应边交点P、Q、R共线，即AC与A’C’的交点R必在FQ直线上，则
R为定点.
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