试卷代号：1083
国家开放大学（中央广播电视大学）2014年春季学期“开放本科”期末考试
几何基础 试题（半开卷）
2014年7月
碍 分 评卷人.. 一、单项选择题（每小题4分，本题共20分）
1.直线3工+丁 + 3=0上的无穷远点的齐次坐标为（ ）.
A.（3,l,3）
B.（1,3,0）
C.（1, -3,0）
D.（0, 一 3,3）
2.中心投影具有性质（ ）.
A.保持平行性质
B.保持单比不变
C.保持面积不变
D.保持交比不变
3.在射影平面上，不同的两条直线（ ）.
A.可能有一个交点
B.没有交点
C.有且只有一个交点
D.有两个交点
4,在仿射平面上，非退化二次曲线与无穷远直线有两个不同的实交点，则二次曲线是（）•
A.椭圆 B.双曲线
C.抛物线 D.圆
5.在欧氏几何内，直径对应的圆周角（ ）•
A.等于号 B.小于号
C.大于寿 D.不确定 得分评卷人
二、填空题（每小题4分,本题共20分）
6.设向量扌={一 2,0,1} , 6={1, -3, -1}，则 •
7.三点 A = （<21 ,（22 ,<23），B = （61 ,b2 ,缶），C =（勺，Cz ,C3）共线的充要条件为
8.射影对应把正方形变成 .
9.点（1, 一 1,0）的非齐次坐标为 •
10.设二次曲线「与无穷远直线L相交于两点R，丁2,那么以交点「，丁2为切点的切线 是二次曲线「的 .
得分评卷人
三、计算题（毎小题10分，共30分）
11.设通过A（l,2）与B（-l,l）两点的直线被直线工+ 2；y— 3= 0截于点P，求单比 （ABP）.
12.设 A,B,D 三点的坐标分别为（1,2,1） , （3, — 2,1） , （2,0,1），且（AB,CD） =2,求 点C的坐标.
13.求二次曲线工2 一 4巧+寸_2工+ 4^ + 1= 0过点（1,一1）的直径•
14.用向量方法证明:菱形的两条对角线互相垂直.
第14题图
15.证明：过两直线[1,1,1] , [2,1,3]的交点与点2约+3切+给=0的连线，与直线 小一2工2+4払=0平行.
16.设OX,oy,QZ为三条定直线，为二定点，其连线过O点，&为OZ上的动点，且 直线RA,RB分别交OX,OY于点P,Q,求证:PQ通过AB上一定点,
试卷代号：1083
国家开放大学（中央广播电视大学）2014年春季学期“开放本科”期末考试
几何基础 试题答案及评分标准（半开卷）
（供参考）
2014年7月
一、 单顼选择题（毎小题4分,本题共20分）
1. C 2. D 3.C 4. B 5. A
二、 填空题（毎小题4分,本题共20分）
6. {3, — 1,6}
釦 C12 公
7.b] b2 63 =0
Cl C2 C3
8.任意四边形
9.不存在
10.渐近线
三、计算题（毎小题10分，共30分）
3 — 2y — l _y — 2
3 — 23/ + 1 — 1
解得 = y
于是= — 1 10 分
丁一】
12.解 因为 A = (l,2,l) , B = (3, — 2,l),D = (2,0,l)，则由
{a + = (2,0,1) = D ,
厶 Li
于是灼=1.
设 C = A + AiB,已知 G4B,CD)===2, 人2
于是招=2, 8分
所以
C = A + 2B = (7,—2,3) . 10 分
13.解二次曲线
+a22Z； + ^33^3 + 2al2j：lj32 +2句3上］工3 + 2q23j；2j；3 =0
的直径为
(ail-^l +^12上2 +tZ13 上 3)+&(饥1上］+(222^2 +^23-^3)=0 其中 Q11 =1,%2 = — 2,03 = 一1辺21 = — 2,%2 =1,^23 =2
点(1, — 1)的齐次坐标为(1, — 1,1),
代入系数和点坐标得
(1+2 — 1)+”—2—1+2)=0 5 分
整理得 k=2
所以所求直径为上1 —■上3=。，或上=1 10分 四、证明题(每小题10分，共30分)
14.证明 设a , h分别表示菱形的两条邻边，
则它们的对角线分别为a + b和菱一 片，于是 >r —
(a + 6 ) • ( 3 – 6 ) =a2- b2 5 分 h/ \
-因为菱形的两邻边相等，即丨在| = | Z |, /
所以(3 + 6 ) • ( a – 6 ) =a2- b2 =0 七 “
即菱形的两条对角线互相垂直 10分 第14题图
15.证明 直线[1,1,1] , [2,1,3]的交点为
1 JZ? 2 M 3
11 1 =(2, — 1,一1) , 4 分
213
点(2 , — 1, — 1)与点2% + 3u2 +也=0的连线方程为
=[2, —4,8]=0.
8分
即所求连线的坐标为[2,-4,8],
因为[2, ~4,8]=2[1, —2,4],
所以直线[2,—4,8]与直线互一 2工2+4工3=。平行. 1。分
16.证明
取OAB所在直线为影消线，经过中心投影之 后，为无穷远直线，如图所示，则 RPiRR,QiQRR为平行四边形. ……5分
于是 PR , RRz £QiQ2，
所以 PiP2£QlQ2,
即四边形FiQAzFz为平行四边形，PiQi 么PzQ 8分
因此，PQ】与FzQz的象交于无穷远点Mg ,
即由中心射影保持结合性不变可知，PQ通过AB上一定点
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