试卷代号：1083 座位号匚口
中央广播电视大学2013-2014学年度第一学期“开放本科”期末考试（半开卷）
几何基础试题
2014年1月
题号 一 二 三 四 总分
分数
1.直线3x-2y + 5=O上的无穷远点的齐次坐标为（ ）.
A. (3, — 2,0) B. (3,2,0)
C. (2,3,0) D. (2, -3,0)
2.射影对应把梯形变成（）•
A.梯形
C.菱形 B.平行四边形
D.任意四边形
3.在欧氏几何内，直径对应的圆周角（ ).
A.大于专 B.小于f
C.等于专 D.以上都正确
4.在仿射平面上，若非退化二次曲线与无穷远直线有一个实交点，则此二次曲线是（）.
A.椭圆 B.抛物线
C.双曲线 D.圆
5.若两个一维基本图形成射影对应，则对应四元素的交比（）.
A.等于一1 B.不等
C.等于1 D.相等
得 分 评卷入 二、填空题（毎小题4分，本题共20分）
6.三个点a = （ai ,a2 ,aC、b =（缶，缶，缶）、c = （cj ,c2 ,c3）共线的条件为
7.仿射变换把菱形变成 .
8.＞轴上无穷远点的齐次坐标为 .
9.给定无三线共点的 条直线，可决定唯一一条二级曲线.
10.若两个线束与同一个点列成透视对应，则称这两个线束成
得分评卷人 三、计算题（毎小题10分，共30分）
11.求过直线工一2了 + 1= 0和工+了 = 0交点与点（一 1,1,0）的直线方程•
12.求二次曲线6犬一驚一24爲+102工3 =0在点（1,2,1）处的切线方程.
13.设 三点的坐标分别为（1,2,3） , （-1,2,1） , （1,0,1），且（AB,CD） =2,
求点C的坐标.
得分评卷人
四、证明题（毎小题10分，共30分）
14.用向量方法证明：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半.
15.设A,B是直线Z外两点，在直线Z上任取两点P,Q,AP交BQ于N,BP交AQ于M,
则MN通过AB上一定点.
第15题图
16.利用笛沙格定理证明三角形的三条中线交于一点.
第16题图
试卷代号：1083
中央广播电视大学2013-2014学年度第一学期“开放本科”期末考试（半开卷）
几何基础试题答案及评分标准
.1
（供参考）
2014年1月
一、 单项选择题（毎小题4分,本题共20分）
1. C 2. D 3. C 4. B 5. D
二、 填空题（毎小题4分,本题共20分）
dz CI3
6.缶缶缶=0
勺 c2 c3
7.平行四边形
8.（0,1,0）
9.五
10.透视对应
三、 计算题（毎小题10分，共30分）
11-解 两直线x~2y+l= 0与x + y = 0的齐次坐标形式分别为a — 20+0=0,
+工2 =0，交点为
W1 U2 U3
1 -2 1 =（-14,3） 5 分
1 1 0
于是，过点（一 1,1,3）与点（-1,1,0）的直线方程为
Xi X2 JC3
—1 1 3 = — 3×1 — 3×2 =0
-1 1 0
即 Xi +x2 =0,
或 X + y =0 . 10 分
12.解由于
6 Xl2-22-24 XI2+11X2X1=0
说明点(1,2,1)在二次曲线上， 4分
故所求的切线方程为
整理得 12工1 + 7a：z — 26女=。
13.解 因为 A = (l,2,3) , B = (-l,2,l),则由
§A-§B = (l,0,l)=D ,
于是A? =一1. 5分
设 C =A+AjB ,已知(AB,CD)=tl=2, Az
于是得人1 = —2,
所以
C=A-2B = (3, -2,1) . 1。分
四、证明题(毎小题10分，共30分)
14.证明 如图所示，设a=BC , b=CA , c=AB，则a+b+ A
i pZ-X
于是 DE =DB + BE =DB + CBC + 4 分 \
=小+ “# = 0，+彩+新)+事 B 第14题图
= 8 分
说明施〃 BC,且DE = yj3C. 10分
15.证明：设A,B与Z所在的平面为k，选取平面/与投影中心0,使得AB为“上的影 消线.
设R,Qi是直线，上的另外任意两 点，AQ! A BP1 =M1,AP1 n BQi =M 往证MN与Mi M相交于AB上.
设 l 的象为 I’ , MMP’q’Mi, N\,P，i ,Q’i,分别是相应的像点.
由于QN,PM , 交于点
B ,
故 Q’N，,PM , Q,1N/1,P/iA4/1 交于 点B 5分
由于B e AB，故B’ e ，而，8为 无穷远直线，
故MN‘〃 即MN’与M’iN’i交于无穷远点.
由中心射影的性质知，原象MN与是两条相交直线,交点在AB上. 10分
16.证明如图所示,
△ ABC的中点分别为A’ , B’ , C’,
由三角形中位线定理，
A’B’ // AB , B’C’ // BC , A’C’ // AC ,
于是，AB与A’B’交于P. , BC与B’C’交于Q , AC与A’C’交于K. . 5分
因为p® q , R”三点都在无穷远直线上， 即左ABC与左A’B’C’对应边的交点共线（无穷
远直线），由笛沙格定理,△ ABC与左A’B’C’对
应顶点的连线共点，即AA,,BB,,CC,共点. 10分
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