试卷代号：1083
中央广播电视大学2012-2013学年度第二学期“开放本科”期末考试（半开卷）
几何基础试题
2013年7月
一、单项选择题（每小题4分，本题共20分）
1.设 5 = （-2,0,1} , 6 = {0,-1,1）,则成X,=（ ）.
A. （1,2,2} B. {-1,2,2}
C. （2,2,1} D. （-2,1,2）
2. 线坐标［1,1,-1］表示的直线方程为（ ）.
A. X］ + x3 =0 B. x\ + xz—x3 =0
C. 了1 + 了2 + 13 =0 D. Xi X2 =0
3.若线束S的四直线a,b,c,d被任何一条直线s截于四点A,B,C,D，且（AB,CD）=2,
则（ab、dc）=（ ）.
A. B. 2
C. – 1 D. -y
4.设 a = （i,o,i} , 3 = {1,1,0}，则彳与 3 的夹角为（ ）.
a.t b. f
c- f D-1
5.两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，这个命题与欧几里得第五公设（ ）•
A.无关 B.矛盾
C.等价 D.以上都不正确
得分评卷人
二、 填空题（毎小题4分，本题共20分）
6.仿射变换把三角形重心变成 .
7.射影对应把梯形变成 .
8.直线》=工的齐次线坐标为 .
9.点（2,1,0）的非齐次坐标为 .
10.命题“三直线两两相交”的对偶命题是 .
得分评卷人
三、 计算题（每小题10分，共30分）
11.求使直线X =0,丿=0,工+ 2、一1=0分别对应直线x’ +y’ =0, x’ — y’ =0,工’+ 2y’ -1=。的仿射变换式.
12.求两点3“| + du, — llu3 =0与5«| — 3uz + u3 =0的连线的坐标.
13.求二次曲线 X2 ~~2j：y + 2y2 +4x+2y + 3 = 0 的中心.
得 分 评卷人
四、 证明题（每小题10分，共30分）
14.用向量方法证明：如果三角形的一条中线垂直于底边,则这个三角形是等腰三角形.
15.证明：卩】（1,一1）,0（5,4）/3（4, — 2）,已（7,5）成调和共辄.
16.证明如果两个三角形对应边的交点共线，则对应顶点的连线共点・
第16题图
试卷代号：1083
中央广播电视大学2012-2013学年度第二学期“开放本科”期末考试（半开卷）
几何基础试题答案及评分标准
（供参考）
2013年7月
一、 单项选择题（毎小题4分，本题共20分）
I.A 2. B 3. A 4. C 5.C
二、 填空题（每小题4分，本题共20分）
6.三角形重心
7.任意四边形
8.[1, — 1,1]
9.不存在
10.三点两两定一直线
三、 计算题（毎小题10分，共30分）
II. 解 设所求仿射变换为
[jc’ =a + ax\T -V auy
（*）
先求岀交点的坐标
（x = 0
〔V = 0
fx =0
[工 + 2y — 1 = 0
c：广
[z + 2y — 1 = 0 解得 A（0,0）,B（O, j） ,C（3,0） 5 分
A.B.C的对应点分别为
A 寸,+’,=0
-/=o
「°
[x + 2_y — 1 =0
x — J = 0
+ 2yf 一 1 =0
解得
于是由（*）式得
0 =an • 0 + £212 • 0 + a
—1 = aH • 0 + tZ]2 • § +
1 = Cl2\ • 0 + (222 •项 + 6
a—b =0,a12 = —2
如=2心=扣=§
于是求得仿射变换为
12.解 两点A — (flj ,az ,a3)与B = (6| ,b2,b3)的连线的方程为
JC\ 工2 工3
a\ a2 a3 =0 3 分
bi bz 缶
代入得
Xi x2 x3
3 4 — 11 = [— 29, — 58, — 29] 7 分
5 -3 1
于是，所求坐标为
［一29, -58, — 29］，或［1,2,1］
13.解 二次曲线8-2玲+ 2J+4工+ 2、+ 3=。的齐次坐标形式为 了，—2工]工2 + 2忐 + 4±|了3 + 2x2x3 + 3 药=0
-1 2
因为A = -1 2 1
一 213.
于是 A” = — 5, AJ2 = — 3, A33 = 1
所求中心坐标为(-5, -3,1) . 10分
四、证明题(每小题10分，共30分)
14.证明 设3 , b分别表示三角形的两腰.则疝
=y (a + b),BC=b-a，于是序• BC =
y(a + 6)-(6-H)=y<S2-2!) 5 分
又因为亙5丄国，所以布• BC =0,因此厅一矛
=0,即丨扌丨=丨舌|,所以三角形ABC是等腰三角形. B
1°分第14题图
15.证明 可以验证四点在一条直线上. 4分
(RPz’P/Q = “3 _百〈尸，
(x3 — X2)(0 — X])
1。分
16.证明如图所示,
若三点形ABC与A’B’C的对应边BC与B’C’的 交点X ,AC与A’C’的交点Y ,AB与人所的交点Z共 线，考虑三点形XBB’ , YAA’，由于XV与AB , A’B’ 都交于Z , 5分
由笛沙格定理，三组对应边的交点C , C’ , O共线， 于是AA’ ,AB’ , OC’共线 10分
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