中央广播电视大学2012-2013学年度第一学期“开放本科”期末考试（半开卷）
几何基础试题
2013年1月
题号 —- 二 三 四 总分
分数
6.若向量a = {l,l,2} = ，则向量质与舌的夹角等于 .
7.仿射变换把三角形中位线变成 –
8.在实轴R上，三点A,B,C坐标分别为1, 2, 3.则三点的单比(ABC)=
9.点(—1 >3, — 1)的非齐次坐标为 –
10,若两个一维基本图形成射影对应,则对应四元素的交比
得分• |评卷人 三、计算题(每小题10分，共30分)
11.求使三点(0,0) , (1,1) , (1,-1)的对应点分别为(1, 一 1) , (2,1) , (4,-3)的仿 射变换式.
12.已知点厶和B的齐次坐标分别为(5,1,1)和(一1,0,1) ,(1)求直线AB上一点C , 使得(ABC) = — 1；(2)若。=厶+汨，求出*
13.求二次曲线6×1 —诚一 24房+ 10注3 =0在点(1,2,1)的切线方程.
得 分 评卷人
四、证明题(每小题1。分，共30分)
14.用向量方法证明以任意三角形的三条中位线为边可做一个三角形■
第14题图
15.证明点3 成)关于二次曲线y2 =2px的极线方程为丁呼=力危+ #i).
16.相交于点O的两条直线I、m被三条不同直线AA\BB\CCf截得三个四边形
如图所示’证明这三个四边形的对角线交点N、M、L共线.
试卷代号：1083
中央广播电视大学2012-2013学年度第一学期“开放本科”期末考试（半开卷）
几何基础试题答案及评分标准
（供参考）
2013年1月
-、单项选择题（每小题4分,本题共20分）
I.C 2. A 3.C 4. B 5.D
二、 填空题（每小题4分,本题共20分）
U 1
0. arccos –
712
7.三角形中位线
8.2
9.（1, -3）
10.相等
三、 计算题（每小题10分，共30分）
=a + aux + a12y
II.解设仿射变换式为〈，
I,/ —b + a2tx + any
将每对对应点分别代入仿射变换公式，得
1=a
—1 = b
2= a + an + 釦 2
〈 ……………………………………………… 5分
l=b + a2i +a22
4 + au —
—3 = 6 + <221 一％2 •
a = 1
b — — 1
<2口 = 2
……*g分
如=0
S = — 1
0-22 = 2
代入仿射变换式,得所求的仿射变换式
……]0分
12.解 两点的非齐次坐标为
A(x,y) = (5,1) , =(—1,0),
⑴设c = c)，
由（征0=条=气| = 一1,解得z=2, zjC h十丄
同理月一1,解得’品.
] – 1
即C = （2*~2~）» C点的齐次坐标为（2李万,1） 7分
⑵因为（?=扣+ 乔，所以A = l. 10分
13.解 由于 6 (I)2 – (2)2 -24 (I)2 + 11(2)(1) =0,说明点(1,2,1)在二次曲线上.
•,-••• ** 2
因此，所求切线方程为
BP 12^：! -\-7×2 — 26j:3 =0 10 分
四、证明题（每小题10分’共30分）
14.证明 如图，设 AB =c, BC =<2, CA =们则 a+Z>+c=0 3 分
第14题图
设E,F,D分别为△ABC三边AC,AB,BC的中点,
FE = BC = -~ a, DF =y CA =y 6, ED — — AB =y c, 6 分
“””A —■■■”””A 1 ■E”- _A 1 ，，“—,A 1 ， A 1 “1 “I “1
FE + DF+ED=^BC + -^CA+-^AB=^a + j-b+-^c = ^ (a+fe + c)=0,gp以
中位线逐，昴，应为边可作成一个三角形 10分
15.证明 曲线寸=* 的齐次方程为隽=2歩口3
点 5 ,少）的齐次坐标为 5 ,1）
故极线方程为
解得 ^1^2 ~pCxi +X1X3)
_以
•— -—- , *y ——— 女 X3
则点（^1 >yi）的极线方程为 少营=/>0 +心）…………………………………10分
16.证明 证法一 如图所示，四边形ABB,A\BCCZB/ ,ACCZAZ的对角线交点分别为
N、M、L，那么
= = 第16题图
A^NJB AA’B’C’O AKLC’B
这两个点列有公共点B自对应，所以
是两个透视点列,
因此A’K , NL , JC’应交于一点
即NL应过A’K、JC’的交点M,所以L,M,N共线.
证法二 A,B,C是直线I上互异的三点
由巴卜斯定理，三个交点
L=BCZXBZC , N=AB，XA’B , M = CA‘ X CA 共线.……
点点赞赏，手留余香
给TA打赏
评论0