试卷代号：1083 座位号匚口
屮央广播电视大学2011 2012学年度第二学期“开放本科”期末考试（半开卷）
几何基础试题
2012年7月 题号| |二|三|四|总一石
分数
得分评卷人
一、单项选择题（每小题4分，本题共20分）
I.设 a=(l,-l,O} . 6 = {x,3,-l},若；丄I,则( >.
A. _r = 2
C. x = 3
2. 下列哪个量不是仿射不变量（ ）.
A.共线三点的简比
C.任意两个图形的面积之比
3.以身为方向的无穷远点的齐次坐标为（
A. （l,y,O）
I.无穷远点关于.次曲线的极线称为二次曲线的（ ）.
A.半径 B.直径
C.渐近线 D.切线
5.若线束S的四直线a.h.c.d被任何一条直线s截于四点A.B9C9D，且（AB,CD）=2, 则（ba < ）.
B. 2
二、填空题（每小题1分，本題共20分）
6.若向 ft a={1.0, -2} . 6=(-l,x, -1) , c = {0, – l.>)首尾相连构成三角形，则
7.正方形在仿射对应下的象是 •
8.直线x, +2xz=0上无穷远点的齐次坐标为 •
9.点（1,2,- 1）的非齐次坐标为 •
10.两个点列间射影对应由 对对应点唯一确定•
得分评卷人
三、计算題（每小題10分，共30分）
11.设通过A（l,2）与B（- 1.1）两点的直线被宜线x+2y-3=0截于点P，求单比 （ABP）.
12.已知点人和B的齐次坐标分别为（5,1,1）和（一 1.0,1） ,（1）求直线AB上一点C，使 （ABC） =-ls（2）若 C = A+AB，求出人.
13.求由两个射影线束
2xt — Arj =0, Xi H-A^j =0,（其中义’=?
决定的二次曲线的方程.
得分评卷人 四、证明题（每小題10分，共30分）
14.用向最方法证明三角形三条高线交于一点.
B D C
15.设A,B是直线/外两点，在直线/上任取两点P,Q,AP交BQ于N.BP交AQ于M, 则MN通过人B上一定点.
第15题图
】6.利用笛沙格定理证明三角形的三条中线交于一点.
第16题图
试卷代号：1083
中央广播电视大学2011-2012学年度第二学期“开放本科”期末考试(半开卷)
几何基础试题答案及评分标准
(供参考)
2012年7月
一、 单项选择题(每小题4分，本题共20分)
I.C 2. D 3. A
二、 填空题(每小题1分，本题共20分)
6.1,3
7.平行四边形
8.(l,-y,O)
9.(-1,-2)
10.三
三、 计算题(每小题10分，共30分)
II.解 交点坐标为P(3-2‘,>)
由 工3 一工1 _为一北 工 3 — -Tz y3 — >2
徂 3 — 2\ — 1 = 丁 一 2
仰 3 – 2> + 1 _
解得> =|
于是= — 1 、一 1
12.解A.B两点的非齐次坐标为
人(工，y) = (5,1) , B(,x = (― 1.0),
(1)设 C= Cx9y),
由(ABC>=^ =吃芸=一1，解得-r=2,
dC x 十 1
同理；
即C = （2.|）,C点的齐次坐标为（2志1）・
⑵因为C = *>A + }b，所以A = l.
10分
13.解将第三式代入第二式并与第一式联立.得
2xi — A-r3 =0
消去4，得所求二次曲线方程为
2m + \l\Xy — 3x:xj +工；=0.
10分
四、证明题（每小题10分，共30分）
14.证明 设三角形ABC中BC,AC边上的高
分别为AD和3E，且AD和BE相交于点G，连接
（石并延长交人B于F.
在三角形AGC中，CG=AG-AC
已知AD是三角形ABC中BC边上的高，因此
AD • BC=0,
故 AG -BC=0,
E
第14题图
（1）式两边同乘以茂.即有
CG • BC-.4G • BC-AC – BC=-AC • BC
同理，在三角形BGC中.
CG = BG-BC,
m • oT = -CA-BC – CA =-BC • CA (3)
由于在•:角形ABC中，AB+ BC + CA =0
于是由(2) + (3)式得
^.AB=-CT7.(BC + GA)=-O7-BC-ffi.C4
=AC • BC + BC • CA
=AC -BC-BC -AC =0
说明CU丄AB ,从而CF丄AB ,这说明三角形三条边上的高相交于一点G.…10分
15.证明：设与/所在的平面为k ,选取平面/与投影中心。，使得AB为k上的影 消线.
设P, .Q.是直线I上的另外任意两点，
AQ, f] BP. =Mi，APt fl «2. =N,
往证MN与相交于AB上.
设，的象为厂.
是相应的像点.
由于 QN,PM 交于点 B .
故 Q’N’,P’M’, Q,,N，1.P，,MZI 交于点
B’ 5 分
由于B 6 AB，故B’ e I’. •而I.为无穷远直线，
故MN’ // ，即MN’与ML Nt交于无穷远点.
由中心射影的性质知，原象MN与是两条相交直线，交点在AB上. 10分
16.证明如图所示，
A ABC的中点分别为A’ ,B’ .C,
由三角形中位线定理，
A’B’ // AB , B’C’ // BC . A’C’ // AC , 于是，AB与A’B’交于已，BC与B’C’交于Q ,
AC与A’C’交于R, . 5分
因为Ps . Q. ,R”三点都在无穷远直线上，即ZXMC 与八A’B’C’对应边的交点共线（无穷远直线），由笛沙格定
理.A ABC与左A’B’C’对应顶点的连线共点^AA’ . BB’ , CC’共点. 10分
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