试卷代号：1083 座位号匚口
中央广播电视大学2010-2011学年度第二学期“开放本科”期末考试（半开卷）’
几何基础试题
2011年7月
题号 —- 二 三 四 ‘总分
分数•.:人
1.设云片是两个非零向量,则下列结论正确的是C）.
A. a • b^\a \ |d|B.a • b~ ja| |6|
C. a • |a | B|D. a “> 1 a | | b |
得分2.点（5,2,-1）的线坐标方程为（）.
A. 2ui +5m2 +m3 =0B. 5ui— w3 =0
C. «i +2u2—5w3==OD. 5«i +2u2 — w3 =0
得分 3. 在欧氏几何内，直径对应的圆周角（ ).
A.大于奇&小于*
C.等于詩D.以上都正确
得分 4. 设 <7={1, —1,0) ,6={x,3,—1},若 a 丄片，则（）.
A. x=2B.x=-2
C. x=3D. x = — 5
得分 5. 若两个一维基本图形成射影对应,则对应図元素的交比（ ）.
* A.等于一1 B,不等
C.等于］D.相等
得 分 评卷入 二、填空题（每小题4分,本题共20分）
得分| |6.仿射变换把梯形变成 .
御]7.射影对应把三角形中位线变成 .
得分| |8. y轴的齐次线坐标为 .
得分| ]9.点（2,1,-1）的非齐次坐标为 .
丽—10.命题“三直线两两相交”的对偶命题是 .
得 分卷入 三、计算题（毎小题10分，共30分）
得分 11.求使直线工=0,3»=0,工+2夕一1=0分别对应直线v+y=o,y—y==o,xz4-2y— 1=0的仿射变换.
得分I ]12.直线上三点A,B,C坐标分别为（L3）,（工，1）,（3,5）,求三点的单比（ABC）和x 值.
冋―13.求二次曲线工2_4″+了2_2*+4了+1 =。过点（1,-1）的直径.
得分评卷人
四、证明题（毎小题10分，共30分）
得分 14.用向量方法证明：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半.
得分 15.证明：R（1, — 1）,P2（5,4）,R（4,—2）,P4（7,5）成调和共辄.
得分 16.相交于点。的两条直线Z、巩被三条不同直线截得三个四边形，如图所示，证明
这三个四边孫的对角线交点共线.
第16题图
试卷代号：1083
中央广播电视大学2010-2011学年度第二学期“开放本科”期末考试（半开卷）
几何基础试题答案及评分标准
（供參考）
2011年7月
一、单项选择题（毎小题4分,本题共20分）
二、填空题（毎小题4分,本题共20分）
6.梯形
7.相交于两腰的任意一条直线
& [1,0,0]
9.（-2,-1）
10.三点两两定一直线
三、计算题（每小题10分,本题共30分）
11.解设所求仿射变换为
（x =a+anj：+a12y
\y =b+a2lj：+a2Zy
先求出交点的坐标
fj7 = 0
A：b=o
fj?=0
bJ
3+2y-l = 0
c：F°
[x+2>—1=0
解得 A（0,0）,B（0,y）,C（l,0）
A,B,C的对应点分别为
:W-y=o
矿户’+J=o
‘V+2y~-i=o
x —y =0
、□/+2j/ —] = 0
解得 ，号） -••…••…….…8 分 于是由（*）式得
0=an , 0+引• 0+<1
0=azi • 0+az2 ・ 0+6
耳==<1“ • l+ai2 • 0+a
a=6=0,alz = —2
于是求得仿射变换为
10分
“•解 <abc)=^A
5f 1
“・・ M .=
5-1 2
孔―Hi二为一丸
HL 工 1 了3_了2
■ …:.“
x3—-T1 3 — 1 1
x3 ~xz 3—jc 2 ■ 1
x–l L •………… 10分
13.解二次曲线
+知蒙 +。33衣 + 2a 12 JTj J?2 4- 2au Xi X3 4-2^23^2^3 =0 的直径为
+釦2工2+句3女）+为（。21工1 +衣2工2+^23工3 ）=0
其中 a” = 1 jQiz — 一2,a” = — 1，衣1 = —2,az2 = 1 ,<^23 = 2, 点（1,-1）的齐次坐标为（1,一1,1）,
代入系数和点坐标得
（1+2—1）+虹一2-1 + 2）=0
k=2 5 分
所以所求直径为例一冯=0或工=1 10分 四、证明题（毎小题10分,共30分）
14.证明如图所示，设a=BC,6=CA,c=AB,
则 a+6+c = 0,
于是 DE=DB+BE=DB+（BC+CE） 4 分
1 ♦ -* 1 -* 1 ■* 1 -> 1 -* 1 -*
=2沽并砂=（万。+ 亍1 + 砂）+亍2
说明 DE//BC,且 DE=§BC. 10 分
15.证明可以验证四点在一条直线上 4分
（RR，RP4）=
（女一刀）&4 —互）
（女一处）（工4—*1）
=一1
16.证明 证法一如图所示，四边形 ABBrA’ ^BCCfB’、ACC,A ‘的对角线交点分别为 N、M、L,那么
A’NJB AAfBfCfO TkLC’B 5 分
于是 A’NJB ABKLCf 7 分
这两个点列有公共点B自对应，所以是两个 透视点列，因此A’K,NL,JC’应交于一点，即NL
应过A’KJC’的交点M,所以L,M,N共线. 10分
证法二 A,B,C是直线2上互异的三点是直线m上互异的三点， 4分
由巴卜斯定理，三个交点
L=BC，XB，C^=ABfXA,B,M=CA，XCfA 共线. 10 分
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