试卷代号:1083
中央广播电视大学2010-2011学年度第一学期“开放本科”期末考试（半开卷）
几何基础试题
2011年1月
题号 二 三 四 总分
分数
得分评卷人
―、填空题（每小题4分.本题共20分）
1.若向量＜/={工,了,£},片=修&£},则 a , b=.
2.在仿射变换下，正方形变成 .
3.若（AB,DC） = ~2,则（AB,CD） .
4.两个不共心的射影对应的线束，其对应直线交点的全体构成
5.在欧氏几何内*三角形内角和 .
1.若非零向量a与片的内积a • & = 0,则（ ）.
—» -* -* , -* _ * 一
A.a与&平行 B. a与&垂直
C. Z与片线性相关 D.无法判定
2. 在射影平面内，若两条直线相交于影消线，则它们的象（ ）.
A.交于有限点
C.平行
3.若P是二次曲线「上一点,则它的极线是「的（ ）.
A.切线 B.直线
C.半径 D.渐近线
4*不共线的（ ）对对应点决定唯一一个仿射变换.
A. 2 B. 4 ‘
C. 5 D. 3
5.在中心射影下，如下哪种量不变？（ ）
A.角度
B.交比
C.面积
D.长度
得分评卷人 三、计算题（每小题10分，共30分）
1.试求出下面各点的齐次坐标：
5
（1） （2,y）?
（2） 直线3工+ = o上无穷远点*
2.设过点A（ —3,2）与5（6,1）的直线与Z轴及夕轴的交点分别为GD,求交比（AB, CD）.
3.求二次曲线若一2芸+3愚一工1丑=0在点（2, J|”l）处的切线方程.
得分评卷人 四、证明题（每小题10分，共30分）
1.用向量方法证明：菱形的两条对角线互相垂直.
2.证明：四点 R（ — 1, — 1）,R（3,4）,R（2,—2）,P,（5,5）成调和共辄.
3.设三角形ABC的顶点A,B,C分别在共点的三直线a,b,c ±_移动，且直线AB和BC 分别通过定点F与Q。求证:CA也通过PQ上的一个定点（如图3）.
0
第3题图
试卷代号= 1083
中央广播电视大学2010-2011学年度第一学期“开放本科”期末考试（半开卷）
几何基础试题答案及评分标准
（供参考）
2011年1月
一、填空题（每小题4分,本题共20分）
1.ax-\-by-\-cz
2•平行四边形
3 一丄
丄2
4.一条二阶曲线
5.等于K
二、 选择题（每小题4分,本题共20分）
1.B 2. C 3. A 4. D 5. B
三、 计算题（每小题10分，共30分）
L解：（l）（2,j）是有穷远点，由于3,加氏）6 乂 0）是有穷远点的齐次坐标.
利用公式—=x, — = y,
取工3 = 1，得所求的齐次坐标为（2,亨，1）. 5分
（2）因为3z+）+l = 0平行于3，=—3”,一组直线y=kx上的无穷远点的齐次坐标为（1, 肉,0）,于是所求的齐次坐标为（1,—3,0）. 10分
2.解:A（—3,2）、B（6,1）的齐次坐标分别为A（ — 3,2,1）、B（6,1,1）,设过点A与B的直 线方程为心1 +危2 +。工3 =0
\—3a+2^+c = 0
于是｛ 3分
la6a + ^+c—0
f：―3<z + 2&+1 = 0
令c=l,则有｛
[6a + ^+l = 0
解之得 <2= – #0= ………………………………………………………………6分
于是，直线方程为而+9处一15心=0与卫轴的交点C *(15,0,1),与X轴的交点D为
(。昌1)A”上四点的交比(由8)为
3.解，二次曲线可以写成
又由于(2注 一2(鷹)2+ 3(l)z—2(1) =0,
所以点在曲线上.
故切线方程为
Xi
% x2 +2×3 =0.
四、证明题(每小题10分，共30分)
1.证明设云片分别表示菱形的两条邻边，则它们的对角线分别为a+b和】一Z,于是
(a+6) • (a”—b) = \ a\ 2 — \b\2
第1题图
又因为菱形的两邻边相等，即|小=0|,
所以 (a+6) • (a—6) = |a|2 —|6|2=0
即菱形的两条对角线互相垂直. 10分
2.证明
(2 十 1)(5 — 3)_：
(2-3) (5 + 1) ~
3.证明：考虑三角形ABC和三角形A’B’C’,由于对应点A与A\B与B\C与C’的连线
共点。， 5 分
根据笛沙格定理，对应边的连线AB与与B’C’.CA与C’A’的交点共线，即CA
也通过PQ上的一个定点. 10分
第3题图
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